偏微分方程反问题的数值解法教案
正问题：对于给定的ρ，计算其Radon变换Rρ。
反问题：由给定的Radon变换Rρ（所有线积分的测量值）来决定密度函数ρ。 例1.7 地震勘探中的反问题
假设地层为水平层状介质，考虑如下的一维波动方程
2u u
ρ(x)2=(μ(x)+f(x,t),
t x x
其中u(x,t)为质点振动的位移，ρ(x)为介质的密度，μ(x)为Lame系数，f(x,t)为震源函
数。v(x)=
z=∫，在这个变换下，原来方程
0化为：
2u u
σ(z)2=(σ(z)+z,t),
t z z
这里σ(z)=
称为声波阻抗。
u u
=0和边界条件σ(0)
z tt=0
=0的情况下，由给
z=0
正问题：在给定初始条件ut=0=
定的声波阻抗σ(z)来求合成地震记录u(0,t)。
反问题：在补充了附加条件u(0,t)= (t)的情况下，由地震记录 (t)来确定底层介质声波阻抗σ(z)的值。
上述例子，均可用一个抽象的算子方程来描述：设有一个数学模型描述了一个物理过程，
记x为该数学模型的未知特性，K是一个算子，表示某一系统，它把x作用成了y,实际观测结果为y,该过程可以简单的写成：
Kx=y
其中，算子K和右端项是已知量。近似的利用已知K和y来求x。当算子K是线性算子时，称为线性反问题，否则称为非线性反问题。当K为微分方程算子时，称为微分方程反问题。
z 通常称一个先前被研究过的相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对应的另
一个问题为反问题。
z 正问题是线性的，对应的反问题也可能是非线性的。