偏微分方程反问题的数值解法教案
A
φn φ≤Aφ0 φ0
1 A
这里实际上讨论的是Neumann级数构造方程迭代解的问题。 定理条件可放宽到Ak<1对某个正整数k成立。
定义2.2.16 假定线性空间X商定以了内积( , )，由
n
:=(φ,φ)1/2
定义了X上的一个范数。如果X关于这个范数是完备的，就称为Hilbert空间，否则称为准Hilbert空间。
定义2.2.17 设U X是赋范线性空间X的子集，φ∈X，元素v∈U称为φ在U上的最佳逼近，如果
φ v=inf u
u∈U
成立。即v是U上与φ距离最近的点。
定理2.2.18 设U是准Hilbert空间X的线性子空间，v∈U是φ∈X的最佳逼近
(φ v,u)=0, u∈U，即φ v⊥U，对 φ∈X，在U上最多有一个最佳逼近元素。
定理2.2.19 设U是准Hilbert空间X的完备线性子空间， φ∈X，在U上存在唯一的最佳逼近元素。
定理2.2.20 设U是准Hilbert空间X的凸的子集，v∈U是φ∈X的最佳逼近
Re(φ v,u v)=0, u∈U，对 φ∈X，在U上最多有一个最佳逼近元素。
定义2.2.21 Hilbert空间X中的序列{φn}称为弱收敛(weak convergence)于φ∈X（记为
φn φ），如果对 ∈X，有lim( ,φn)=( ,φ)
n→∞
定理2.2.22 （1）如果xn x0，则x0≤n→∞xn； （2）如果xn x0，且xn x0则xn x0 0；
（3）Hibert空间中弱收敛序列是有界的，Hilbert空间中的有界序列一定存在弱收敛的子列； （4）线性全连续算子把弱收敛的序列映射为强收敛（依范数收敛）的序列。
定义2.2.23 设X是Hilbert空间，A:X→X是有界线性算子。如果存在c>0,使得