偏微分方程反问题的数值解法教案
,β1 1+β2 2=β1, 1+φ2, 2, 1, 2∈Y, φ∈X,α1,α2∈C
成立，映射 , :X×Y→C称为是双线性的。 如果对任意的非零φ∈X, ∈Y，使得
φ, ≠0；对任意的非零 ∈Y, φ∈X，使得
, ≠0就称双线性映射是非退化的(nondegenerate)。
定义2.3.10 赋范空间X,Y装备了非退化的双线性形式后，称为一个对偶系统，记为X,Y。 定义2.3.11 设X1,Y1，X2,Y2为是伴随的，如果
是两个对偶系统，两个算子A:X1→X2，B:Y1→Y2称
2
Aφ,
2
=,B
1
φ∈X1, ∈X2
注意：在上述定义下，只有线性算子才能引进伴随算子的概念
定理2.3.12 设X1,Y11，X2,Y2
2
是两个对偶系统，如果算子A:X1→X2，有一个伴随算
子B:Y1→Y2，则B是唯一的，并且A和B都是线性的。
定理2.3.13(Reisz) 设X是一个Hilbert空间，对每一个有界线性泛函F:X→C，存在唯一的f∈X，使得
F(φ)=,f, φ∈X
定理2.3.14 设X,Y是Hilbert空间，A:X→Y是有界线性算子，则存在唯一的有界线性算子A:Y→X满足：
*
Aφ,
*
Y
=,A*
X
, φ∈X, ∈Y
其上的双线性形式由X和Y上的内积即A和A是关于对偶系统X,X和Y,Y的伴随算子，定义，A是有界的且满足A=A。
定理2.3.15 设X,Y是Hilbert空间，A:X→Y是紧线性算子，则其伴随算子A也是紧的。 定理2.3.16(First Fredholm Theorem) 设X,Y是对偶系统，A:X→X，B:Y→Y是紧的伴随算子，则I-A和I-B的零空间具有相同的维数。
定理2.3.17(Second Fredholm Theorem) 非齐次方程φ Aφ=f可解的充要条件是
*
*
*