偏微分方程反问题的数值解法教案
第一章 绪论
近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展最快的领域之一。之所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法如广义脉冲谱方法（GPST），最佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。
1.1 反问题的若干例子
背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的Cauchy问题时开始研究反问题的不适定性。
20世纪40年代，Tikhonov，提出了变分正则化方法，《Solutions of ill-posed
problems》,(Tikhonov,1977,中译本《不适定问题的解法》（王秉忱，1979，地质出版社）)，Landweber和Fridman，迭代正则化方法。Morozov和Groetsch把不适定问题的正则化放在抽象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。
例1.1 加减法 互为逆运算，由此引发的填空问题。
例1.2 积分和微分 互为逆运算，但并不是一一对应的，需要附加条件。
一般性所考虑问题的思维方式：“由因及果”，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的结果这样的一种因果关系思维方式。
原因=〉结果 输入+系统=输出
因果关系是辩证的，相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因”。
原因〈=结果
=输出
也就是说这两种思维方式是相对的，如果我们把“由因及果”所考虑的问题称为正问题，那么“由果索因”所考虑的问题就是反问题。
例1.3 多项式函数
正问题：给定多项式Pn(x)=cnx+cn 1x
n
n 1
+ +c1x+c0，求在n+1个已知点