偏微分方程反问题的数值解法教案
x0,x1, ,xn处的函数值y0,y1, ,yn。
反问题：Lagrange插值问题：给定n+1组值(xi,yi),i=0,1, ,n，要求确定n次多项式
Pn(x)的系数ci，使得其满足插值条件：Pn(xi)=yi,i=0,1, ,n。
例子可以看出，反问题是相对于正问题而言的，在这个例子中，如果我们把Lagrange插值问题称为正问题，那么求多项式函数值的问题就是反问题了。
例1.4 逆热传导问题
一维热传导方程的初值问题
2
u2 u1
(,),,t>0+∈fxtxR =a2
x t
u=φ(x),x∈R1 t=0
其中，a为热传导系数，利用Fourier变换及其逆变换可得
2u(x,t)=d+ξ+∞
∫∫
t+∞
0 ∞
2dξdτ（1）若f(x,t)≡0，则有
2u(x,t)=dξ +∞
正问题：已知φ(x)和a通过上式求温度分布u(x,t)。
反问题：已知某一时刻T时的温度分布u(x,T):=uT(x)和a，求初始时刻温度分布φ(x)，即求解下述第一类Fredholm积分方程
2dξ=uT(x) +∞
（2）若φ(x)≡0，但f(x,t)=z(t)χD(x)，则有
u(x,t)=
1
∫∫
t+∞
0 ∞
2dξdτ
其中χD(x)为示性函数，D为R中的有届区域。
正问题：已知z(t)，利用上式求未来任意时刻的温度分布u(x,t) 反问题：已知u(0,t)=g(t)，求z(t)，即第一类Volterra积分方程