∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。
②过点F作FN⊥AC于点N。
∵在正方形ADEF中，
，
∴AE 2。 ∴AN=FN=1AE=1。 2
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3
，BC
∴在Rt△FCN中，tan FCN FN1 。 CN3
AM1 。 AB3在Rt△ABM中，tan FCN tan ABM
14∴AM=AB 。 33
48∴CM=AC﹣AM=4﹣
，BM 。 338
BMCM∵△BMA∽△CMG，∴，即
BACG4CG
∴在Rt△BGC
中，
BG
。 【考点】等腰直角三角形和正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理。
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF
是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF。
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似
三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF。