三重积分在柱面及球坐标系下的计算(10)

运用

例3 计算三重积分I = ∫∫∫ zdv,(V )

z

其中(V )由z = R 2 x 2 y 2 与 z = 0所围.分析 (V )为由半球面与xoy面所围, 故可用球面坐标,

θ

y

x

此时,0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ≤

π2R

,0 ≤ ρ ≤ R.

∴ I = ∫ dθ0

2π

∫

π /2

0

d ∫ ρcos ρ 2sin dρ0

1 4 = πR . 4