三重积分在柱面及球坐标系下的计算(12)

运用

练习 试用三种坐标系分别计算三重积分

z

2

σz

I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.(V )

解法1 解法 直角坐标系(切片法)

(σ z ) : x + y ≤ 2 z z ; 0 ≤ z ≤ 2.2 2 2

1

∴ I = ∫ ∫∫ zdσ dz 0 (σ z ) 2

o x

y

= ∫ zσ z dz0

2

= ∫ zπ ( 2 z z )dz2 0

2

4π = . 3