三重积分在柱面及球坐标系下的计算(5)

运用

例1 计算三重积分I = ∫∫∫ zdv,(V )

z

其中(V )由z = R 2 x 2 y 2 与 z = 0所围.解(V )向xoy面投影(σ xy )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π

y(σ xy )

x

此时0 ≤ z ≤ R 2 ρ 2 .

∴ I = ∫∫(σ ) [ ∫0xy

R2 ρ 2

zρdz ]dρdθ

= ∫ dθ ∫0

2π

R

0

1 2 1 4 2 ( R ρ ) ρdρ = πR . 2 4思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？