第二章 导数与微分
内容提要
(1)
1导数与微分的定义
导数的定义及各种等价形式：
f(x) f(x0)f(x0 x) f(x0)f(x0 t) f(x0)
lim lim
x x0 x 0t 00(2) 左右导数f_ (x0),f (x0)，注意与导数的左右极限f (x0 0),f (x0 0)不同。 f (x0) lim
(3)几何意义: 切线y f(x0) f (x0)(x x0)
(4)微分的定义:若 y A x ( x)，其中 x x x0，则称y f(x)在x0点可微，且记
dy A x为微分，这时，A f (x0)。
2. 导数与微分的运算法则和方法 (1) 复合函数求导: f ( (x)) f (u) (x)
(2) 参数方程求导：若x x(t),y y(t)，则dydx y (t)x (t) (3)隐函数F(x,y) 0的求导(两边同时求导法,微分法,偏导数法) (4)对数法求导(适用于幂指函数,多项式连乘除的情形) (5) 高阶导数(莱布尼茨公式和泰勒公式) 3．二个重要结论： （1） 若f(x)在x0 0处连续，则lim
x 0
f(x)
A f(0) 0,f (0) A, x
（2） 可导的偶(奇)函数导函数为奇(偶)函数,可导的周期函数的导函数为周期函数。
习 题
1．设f(x)在x a的某邻域内有定义，则f(x)在x a处可导的一个充分条件是（ ）
1f(a 2h) f(a h)
limh f(a ) f(a) 存在；（B）lim存在； h h 0h
f(a h) f(a h)f(a) f(a h)
（C）lim存在；（D）存在
h 0h 02hh
f x0 3 x f x0 x0 存在，则lim 2．若f ＝（ ） x 0 x0 （A）f x0 ； （B）f x0 （C）3f x0 ； （D）3f
（A）
3．设f(x) lnx则（ ）
（A）f'(x)不存在；（B）f'(x)
111
；（C）f'(x) ；（D）f'(x) xx