第三章 中值定理和导数的应用
内容提要
1. 导数的应用
1)证明函数恒等式：若f (x) 0，则f(x) C
2)判别函数的单调性：f (x) 0 f(x)单调递增（注：f(x)严格递增f (x) 0）
f (x) 0或不存在的点,最值点还可能
出现在区间的端点处。注意：一般地，x0是f(x)的极值点f (x0) 0，反例：
3)研究函数的极值和最值：可能的极值点是使
f1(x) |x|,f2(x) x3。
4)研究函数的凹凸性与拐点(主要考察二阶导数f (x))。注意：一般地，x0是f(x)的拐点
f (x0) 0，反例：f1(x) x,f2(x) x4。
5) 函数作图（其中渐近线的探求不属导数的应用）。函数图象的渐近线：
I）若limf(x) ，则有竖直线x a；II）若limf(x) a，则有水平线y a；
x a
x
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III）若lim
x
f(x)
k，lim[f(x) kx] b，则有斜渐近线y kx b。
x x
2. 微分中值定理的证明
1)罗尔中值定理f(a) f(b) :f ( ) 0，常用来证明f (x)的根的存在性。 2)拉格朗日中值定理 :f(b) f(a) f ( )(b a)，这是中值定理的核心，常用来表达
f(x)或估计不等式等。
f ( )f(b) f(a)
3)柯西中值定理 : ，罗必塔法则和泰勒中值定理由此推得。
4）泰勒中值定理
f (x0)f (x0)f(n)(x0)f(n 1)( )2n
:f(x) f(x0) (x x0) (x x0) (x x0)(x x0)n 1
常用于涉及高阶导数的f(x)精确表达。
注：介值定理(根的存在性定理，f(x)只需连续，不需可导)和积分中值定理经常与微分中值定
理综合应用。 1．
罗必塔法则：若f(x) 0,g(x) 0或f(x) ,g(x) 且f (x)
A（常数g(x)
或 ），则lim
f(x)f (x)
A，这里极限为有限或无穷大）。注意：当lim 且不
g(x)g(x)
x2xf(x)
存在时，罗必塔法则失效，即不能断定lim不存在，如。
x 0xg(x)