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二面角的大小为。
（四） 创新试题
１．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（I）求证：A1C//平面AB1D；
（II）求二面角B-AB1-D的大小；
（III）求点c到平面AB1D的距离.
解法一（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C.
∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角
设A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B-AB1-D的大小为
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.
由△CDH∽△B1DB，得
即点C到平面AB1D的距离是
解法二：
建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
设A1A = AB = 1，
则
，
（II）解：， ，
设是平面AB1D的法向量，则，
故；
同理，可求得平面AB1B的法向量是
设二面角B-AB1-D的大小为θ，，
∴二面角B-AB1-D的大小为
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，
取其单位法向量
∴点C到平面AB1D的距离
２. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点。
（1）试确定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P-AB-C的大小；
（3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离。
2.解析答案：
四、 复习建议
解法一：（1）当时，PC⊥AB
取AB的中点D′，连结CD′、PD′
∵△ABC为正三角形， ∴CD′⊥AB。
当P为A1B的中点时，PD′//A1A， ∵A1A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，
∴PC⊥AB
（2）当时，过P作PD⊥AB于D，
如图所示，则PD⊥底在ABC
过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC
∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角。
又∵PD/
/A1A， ∴， ∴
∴
又∵
∴ ∴∠PED=60°
即二面角P-AC-B的大小为60°
（3）设C1到面PAC的距离为d，则
∵PD//A1A ∴PD//平面A1C ∴DE即为P点到平面A1C的距离。