知识点165 坐标与图形性质（解答） 1. （2010?内江）阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为(x1+x2/2，y1+y2/2)． 观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）；
（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，?则点P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2）、（2，3）． 拓展延伸：
（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．
考点：坐标与图形性质；中心对称．专题：阅读型．分析：（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）首先利用题目所给公式求出P2的坐标，然后利用公式求出对称点P3的坐标，依此类推即可求出P8的坐标；
（3）由于P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3），由此得到P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点P2012的坐标，也可以根据图形求出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．
解答：解：（1）（1，1）；
（2）P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）；
（3）∵P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3）；
∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环． ∵2012÷6=335?2．
∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012（2，3）； 在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为(-32-1，0)，(2，0)，(32-1，0)，(5，0)．
点评：此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，利用题目所给公式是解题的关键，利用公式可以解决后面的所有问题． 2. （2010?常州）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，
自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长．坐标系中的任意一点P用一有序实数对（a，b）来表示，我们称这个有序实数对（a，b）为点P的坐标．坐标系中点的坐标的确定方法如下： （ⅰ）x轴上点M的坐标为（m，0），其中m为M点在x轴上表示的实数； （ⅱ）y轴上点N的坐标为（0，n），其中n为N点在y轴上表示的实数； （ⅲ）不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数． 则：（1）分别写出点A、B、C的坐标； （2）标出点M（2，3）的位置；
（3）若点K（x，y）为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式．
考点：坐标与图形性质．
分析：本题要充分考虑题中所给的提示，注意“不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数．”这和我们以往所认识平面直角坐标系不同，因此我们要理解好题意，由题意可得A、B、C坐标分别为A（1，0），B（2，1），C（2，2）；再去标注M位置即可． 解答：解：（1）由图示可知各点的坐标为：A（1，0），B（2，1），C（2，2）； （2）如图：
（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx； 由图知：D（1，2），则：k=2，
即x与y所满足的关系式为：y=2x．
点评：本题考查了对平面直角坐标系的理解，在做题过程中要开放思维，弄清题意．
3. （2009?佳木斯）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）求这个平行四边形的面积．
考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质． 分析：（1）本题应从BC为对角线、AC为对角线、AB为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．
（2）解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积． 解答：解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
（2）图中△ABC面积=3×3-1/2（1×3+1×3+2×2）=4，所以平行四边形面积=2×△ABC面积=8．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，难易程度适中． 4. （2008?岳阳）如图，四边形ABCD是一正方形，已知A（1，2），B（5，2） （1）求点C，D的坐标；
（2）若一次函数y=kx-2（k≠0）的图象过C点，求k的值．
（3）若y=kx-2的直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，且△OMN的面积等于2，求k的值．
考点：坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质．专题：代数几何综合题．
分析：根据正方形的定义得到正方形的边长是4，C，D的坐标容易求出； 把C点坐标代入一次函数y=kx-2（k≠0）的解析式，就可以求出k的值； 根据△OMN的面积等于2，就可以求出k的值．解答：解：（1）∵ABCD为正方形，又A（1，2），B（5，2） 则AB=4，∴C（5，6），D（1，6）（2分）
（2）∵y=kx-2经过C点，∴6=5k-2，∴k=1.6 （4分）
（3）y=kx-2与x轴的交点为M
y=0时，kx-2=0，x=2/k，M（2/k，0），N（0，-2） 又S△OMA=12|OM|?|ON|=1/2×|-2|?|2/k|=2 ∴|K|=1，k=±1
故k=±1时，△OMN的面积为2个单位（少一个k值扣1分）（6分）． 点评：本题结合坐标考查了函数的性质，注意结合图形是解决本题的关键． 5. （2007?陕西）在下列直角坐标系中，
（1）请写出在平行四边形ABCD内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点，且和为零的点的坐标；
（2）在平行四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率．
考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质；概率公式．
分析：（1）横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标应在一三象限坐标轴角平分线上； （2）应找完在平行四边形内的所有整数点． 解答：解：（1）看图可知A（-2，2），B（-3，-2），C（2，-2）D（3，2），在其内部横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标有（-1，1），（0，0），（1，-1）．（3分） （2）由图可知：
∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个．（6分） ∴P=3/15=1/5．（8分）
点评：解决本题的关键是理解横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标在一三象限坐标轴角平分线上，范围是平行四边形内．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6. （2006?锦州）如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形解答下列问题：
（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？（写出变换过程） （2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标．
考点：坐标与图形性质；平移的性质；旋转的性质．专题：网格型．分析：（1）对应点是C、F，△ABC应先向右平移到F，BC转到EF位置，可看出是逆时针旋转90°， （2）可任意建立平面直角坐标系，得到相应三点的坐标．解答：解：（1）答案不唯一，只要合理即可得（2分）．如：
将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；
（2）答案不唯一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得（3分）．如： 方法一：如图①建立直角坐标系，则点D（0，0）、E（2，-1）、F（2，3）； 方法二：如图②建立直角坐标系，则点D（-2，0）、E（0，-1）、F（0，3）； 方法三：如图③建立直角坐标系，则点D（-2，-3）、E（0，-4）、F（0，0）； 方法四：如图④建立直角坐标系，则点D（-2，1）、E（0，0）、F（0，4）．