③ 当a<0时，由于1/a-1<0,
x∈(0,1)时，g(x)>0,此时f,
(x)<0函数f(x)单调递减； x∈（1 ，∞）时，g(x)<0此时函数f,(x)<0单调递增。 综上所述：
当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减; 函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增
当a=1/2时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减
当0
函数 f(x)在（1,1/a -1）上单调递增； 函数f(x)在（1/a,+ ∞）上单调递减。
2010理科题(22)(本小题满分14分) 已知函数f(x)?lnx?ax?1?ax?1(a?R).
(Ⅰ)当a?12时，讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设g(x)?x2?2bx?4.当a?14时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使
f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围.
说明：此题第一问与文科第二问相同！
此题第二问关键在于转化分析：恒成立与能成立问题！ f(x)min?g(x)min形式常见，思路简单，注重基础，淡化技巧。会保持吗？
恒成立与能成立可参考卞文的复习专题，文科会出此类问题？估计可能性不大。
21
解析：(Ⅰ)f(x)?lnx?ax?1?ax?1(x?0)，f?(x)?lx?a?a?1x2??ax?x?a?1x22(x?0)
令h(x)?ax2?x?1?a(x?0)
（1）当a?0时，h(x)??x?1(x?0)，当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减；当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增. (2)当a?0时，由f?(x)?0，即ax2?x?1?a?0，解得x1?1,x2?当a?121a?1.
时x1?x2，h(x)?0恒成立，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
12当0?a?x?(1,x?(1a1a时，
1a?1?1?0，x?(0,1)时h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
?1)时，h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增；
?1,??)时，h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递减.
1a?1?0，当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减；
当a?0时
当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增.
综上所述：当a?0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,??)单调递增； 当a?12时x1?x2，h(x)?0恒成立，此时f?(x)?0，函数f(x)在(0,??)单调递减；
12当0?a?（Ⅱ）
时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1a?1)单调递增，(1a?1,??)单调递减.
（Ⅱ）当a?14时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1?(0,2)，
12有f(x1)?f(1)?-，
12?g(x2)，x2??1,2?，（※）
又已知存在x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)，所以?又g(x)?(x?b)?4?b,x?[1,2]
22当b?1时，g(x)min?g(1)?5?2b?0与（※）矛盾；
2当b??1,2?时，g(x)min?g(1)?4?b?0也与（※）矛盾；
当b?2时，g(x)min?g(2)?8?4b??
12,b?178.
22
综上，实数b的取值范围是[
【2010典型错误】
? 1.忽略定义域
178,??).
? 2.对抽象的数学语言理解不到位 ? 3.不明确分类讨论的标准 ? 4.导数公式用错
（2）.( 2009·山东文21.) （本小题满分12分）
已知函数f(x)?13ax?bx?x?3,其中a?0
321. 当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
2.已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
解: (1)由已知得f'(x)?ax2?2bx?1,令f'(x)?0,得ax2?2bx?1?0,
f(x)要取得极值,方程ax?2bx?1?0必须有解,
2所以△?4b2?4a?0,即b2?a, 此时方程ax2?2bx?1?0的根为
?2b?4b?4a2a2x1???b?b?aa2,x2??2b?4b?4a2a2??b?b?aa2,
所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2) 当a?0时,
x f’(x) f (x) (-∞,x1) ＋ 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) ＋ 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当a?0时,
x f’(x) f (x) (-∞,x2) － 减函数 x 2 0 极小值 (x2,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) － 减函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b?a时, f(x)取得极值.
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2(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax2?2bx?1?0在(0,1]上恒成立. 即b??ax2?12x,x?(0,1]恒成立, 所以b?(?2ax2?12x)max
设g(x)??ax2?12x,g'(x)??1aa2?12x2a(x??2x21a,
)令g'(x)?0得x?或x??1a1a(舍去), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当a?1时,0?1a?1,当x?(0,)时g'(x)?0,g(x)??ax2?12x1单调增函数;
当x?(1a,1]时g'(x)?0,g(x)??ax2?2x单调减函数,
所以当x?1a时,g(x)取得最大,最大值为g(1a)??a. 所以b??a
当0?a?1时,
1a?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)??a?12ax2?12x在区间
(0,1]上单调递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??,所以b??a?12
综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时, b??a?12
命题立意:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
（3）2008年高考21题 设函数f(x)?xe2x?132?ax?bx，已知x??2和x?1为f(x)的极值点．
（Ⅰ）求a和b的值； （Ⅱ）讨论f(x)的单调性； （Ⅲ）设g(x)?标准答案
x?122x?1（Ⅰ）因为f?(x)?e(2x?x)?3ax?2bx?xe(x?2)?x(3ax?2b)，
23x?x，试比较f(x)与g(x)的大小．
32 24
又x??2和x?1为f(x)的极值点，所以f?(?2)?f?(1)?0，
??6a?2b?0，13因此??3?3a?2b?0，13 解方程组得a??，b??1．
（Ⅱ）因为a??，b??1，所以f?(x)?x(x?2)(ex?1?1)，
令f?(x)?0，解得x1??2，x2?0，x3?1． 因为 当x?(??，?2)?(0，1)时，f?(x)?0；
当x?(?2，0)?(1，??)时，f?(x)?0．
所以 f(x)在(?2，0)和(1，??)上是单调递增的；在(??，?2)和(0，1)上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)?xe2x?1?13x?x，
32故f(x)?g(x)?x2ex?1?x3?x2(ex?1?x)， 令h(x)?ex?1?x，则h?(x)?ex?1?1．
1?时，h?(x)≤0， 令h?(x)?0，得x?1，因为x????，1?上单调递减．故x????，1?时，h(x)≥h(1)?0； 所以h(x)在x????，???时，h?(x)≥0，所以h(x)在x??1，???上单调递增． 因为x??1，???时，h(x)≥h(1)?0． 故x??1，所以对任意x?(??，??)，恒有h(x)≥0，又x≥0，因此f(x)?g(x)≥0， 故对任意x?(??，??)，恒有f(x)≥g(x)． （3）（2007山东文）
2设函数f(x)?ax?blnx，其中ab?0．
证明：当ab?0时，函数f(x)没有极值点；当ab?0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．------（关于证明出的很少）
证明：当ab?0时，函数f(x)没有极值点；当ab?0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．
2证明：因为f(x)?ax?blnx，ab?0，所以f(x)的定义域为(0，??)．
f?(x)?2ax?2bx?2ax?bx2．
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