为
253．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若MO??OA（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程； （2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值． ?2ab?45，?解析：（Ⅰ）由题意得?ab25
?．?223?a?b又a?b?0， 解得a2?5，b2?4．
x2因此所求椭圆的标准方程为
5?y24?1．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y?kx(k?0)，
A(xA，yA)．
2?x2y22020k??1，2?2解方程组?5得xA?，yA?， 4224?5k4?5k?y?kx，?所以OA?x?y?22A2A204?5k2?20k224?5k?20(1?k)4?5k22．
设M(x，y)，由题意知MO??OA(??0)，
22所以MO??OA，即x?y??222220(1?k)4?5k22，
因为l是AB的垂直平分线， 所以直线l的方程为y??xy1kx，
即k??，
41
2?x?20?1?2?22y??222220(x?y)??因此x?y??， 222x4y?5x4?5?2y又x2?y2?0， 所以5x2?4y2?20?2， x2故
4?y25??．
2又当k?0或不存在时，上式仍然成立． 综上所述，M的轨迹方程为
x24?y25??(??0)．
2（2）当k存在且k?0时，由（1）得x?2A204?5k2，y?2A20k224?5k，
2?x2y??1，2?2020k?5224y?由?解得xM?，， M225?4k5?4k?y??1x，?k?所以OA?x?y?222A2A20(1?k)4?5k14222，AB22?4OA2?80(1?k)4?5k22，OM2?20(1?k)5?4k22．
解法一：由于S△AMB?1480(1?k)4?5k22AB?OM2
???20(1?k)5?4k2
?400(1?k)2222(4?5k)(5?4k)
≥400(1?k)22222
?4?5k?5?4k???2???1600(1?k)81(1?k)2222?40????， ?9?222当且仅当4?5k?5?4k时等号成立，即k??1时等号成立，此时△AMB面积的最小值
42
是S△AMB?409．
12?25?2?25?12?409当k?0，S△AMB?．
409当k不存在时，S△AMB?5?4?25?409．
综上所述，△AMB的面积的最小值为
1OA2．
120(1?k)5?4k40922解法二：因为?1OM2?120(1?k)4?5k22??4?5k?5?4k20(1?k)222?920，
又
1OA2?1OM2≥2OA?OM，OA?OM≥，
当且仅当4?5k2?5?4k2时等号成立，即k??1时等号成立， 此时△AMB面积的最小值是S△AMB?当k?0，S△AMB?12409．
409?25?2?25?12?．
409当k不存在时，S△AMB?5?4?25?409．
综上所述，△AMB的面积的最小值为
3．(2007·山东文22山东理21）)
．
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB
为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
xa22解：（I）由题意设椭圆的标准方程为由已知得：a?c?3，a?c?1，
?a?2，c?1，
?yb22?1(a?b?0)，
?b?a?c?3 ?椭圆的标准方程为
222x24?y23?1
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
43
?y?kx?m，?联立?x2y2 得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，
??1.?3?4????64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，则?8mk? ，?x1?x2??23?4k?2?4(m?3).?x1?x2?23?4k?又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，0)，
y1y2223(m?4k)3?4k222，
?kADkBD??1，即
x1?2x2?2???1，
?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，
?3(m?4k)3?4k222?4(m?3)3?4k22?2k716mk3?4k2?4?0，?7m?16mk?4k?0
22解得：m1??2k，m2??，且均满足3?4k2?m2?0，
当m1??2k时，l的方程为y?k(x?2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾； 当m2??2k7时，l的方程为y?k?x???2?2??2?，直线过定点0? ??，7??7?所以，直线l过定点，定点坐标为?
【模拟题预测参考】
?，0? ?7?（1）（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP
分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
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解：（Ⅰ）因为
ca?63，且c?2，所以a?3,b?a?c?1
22所以椭圆C的方程为
x23?y?1
2（Ⅱ）由题意知p(0,t)(?1?t?1)
?y?t?由?x2 得x??3(1?t2) 2?y?1??3所以圆P的半径为3(1?t2) 3232解得t?? 所以点P的坐标是（0，?）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2?(y?t)2?3(1?t2)。因为点Q(x,y)在圆P上。所以
y?t?3(1?t)?x?t?223(1?t) 3(1?t)?cos??22设t?cos?,??(0,?)，则t?当??
（2）2010辽宁、设椭圆C：
xa223sin??2sin(???6)
?3，即t?12，且x?0，y取最大值2.
?yb22?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C
????????相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60,AF?2FB. （I）求椭圆C的离心率；（II）如
o
果|AB|=
154，求椭圆C的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c?23,故c?2. 所以椭圆C的焦距为4.
（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1?0,y2?0,直线l的方程为y??y?3(x?2),?22224得(3a?b)y?43by?3b?0. 联立?x2y2?2?2?1b?a3(x?2).
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