当ab?0时，如果a?0，b?0，f?(x)?0，f(x)在(0，??)上单调递增； 如果a?0，b?0，f?(x)?0，f(x)在(0，??)上单调递减． 所以当ab?0，函数f(x)没有极值点． 当ab?0时，
?2a?x???b????x?2a??x?b??2a?
f?(x)?
令f?(x)?0， 将x1???(0，??)，
2a2a当a?0，b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
??b?b 0，???? ??2a2a??? 0
b?(0，??)（舍去），x2?bx
f?(x) f(x)
??????，???
?2a?b?
? ??b?b???2a?2???b??1?ln????． ??2a???? 极小值
从上表可看出，
函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为f???当a?0，b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x
f?(x) f(x)
?b?b 0，???? ??2a2a??? 0
??????，???
?2a?b?
? ??b?b??b????1?ln?????． ??2a?2??2a??? 极大值
从上表可看出，
函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为f???
综上所述，
当ab?0时，函数f(x)没有极值点； 当ab?0时，
若a?0，b?0时，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为?若a?0，b?0时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为?b??b??1?ln ????．?2?2a???b??b??1?ln ????．?2??2a??
322011年青岛一模题21.已知函数f(x)?x?ax?x?2．
(Ⅰ)若a??1,令函数g(x)?2x?f(x),求函数g(x)在(?1,2)上的极大值、极小值； (Ⅱ)若函数f(x)在(?13,??)上恒为单调递增函数,求实数a的取值范围.
32322解：(Ⅰ)g(x)?2x?(x?x?x?2)??x?x?x?2，所以g?(x)??3x?2x?1
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由g?(x)?0得x??13或x?1………………………………………2分
131313x g?(x) (??,?) ? (?,1) 1 (1,??) ? 0 5927? 0 ? g(x) ? 13? 5927? ?1 ? 所以函数g(x)在x??处取得极小值?；在x?1处取得极大值?1………………6分
a3(Ⅱ) 因为f?(x)?3x2?2ax?1的对称轴为x??（1）若?a313
13??即a?1时，要使函数f(x)在(?,??)上恒为单调递增函数，则有
2??4a?12?0，解得：?3?a?3，所以?3?a?1；………………………8分
13,??)上恒为单调递增函数，则有
（2）若?13a3??13132即a?1时，要使函数f(x)在(?13f(?)?3?(?)?2a?(?)?1?0，解得：a?2，所以1?a?2；…………10分
综上，实数a的取值范围为?3?a?2………………………………………12分
济南的一模拟题22.设函数f(x)?13x?ax?ax,32g(x)?2x?4x?c.
2(1) 试问函数f(x)能否在x=-1时取得极值？说明理由；
(2) 若a=-1，当x∈［-3,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围.
【模拟题预测参考】
32221(2008陕西22) 设函数f(x)?x?ax?ax?1,g(x)?ax?2x?1,其中实数a?0．
（Ⅰ）若a?0，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当函数y?f(x)与y?g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域；
（Ⅲ）若f(x)与g(x)在区间(a,a?2)内均为增函数，求a的取值范围．
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解：（Ⅰ）? f?(x)?3x2?2ax?a2?3(x?? 当x??a或x?a3a3)(x?a)，又a?0，
a3时，f?(x)?0；当?a?x?a3时，f?(x)?0，
a3)内是减函数．
?f(x)在(??,?a)和(,??)内是增函数，在(?a,（Ⅱ）由题意知 x3?ax2?a2x?1?ax2?2x?1，
即x[x2?(a2?2)]?0恰有一根（含重根）．? a2?2≤0，即?2≤a≤2， 又a?0，? a?[?2,0)?(0,2]．
当a?0时，g(x)才存在最小值，?a?(0,2]．? g(x)?a(x?1a1a)?a?21a，
? h(a)?a?,a?(0,2]． ?h(a)的值域为(??,1?a322]．
1a（Ⅲ）当a?0时，f(x)在(??,?a)和(??a?0?a?由题意得?a?，解得a≥1；
3?1?a??a?,??)内是增函数，g(x)在(,??)内是增函数．
当a?0时，f(x)在(??,)和(?a,??)内是增函数，g(x)在(??,)内是增函数．
3aa1??a?0?a?由题意得?a?2?，解得a≤?3；
3?1?a?2??a?综上可知，实数a的取值范围为(??,?3]?[1,??)．
2（2010福建文）已知函数f（x）=x?x?ax?b的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程
3132为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+
mx?1是[2,??]上的增函数。 （i）求
实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)
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围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
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4323.已知函数f(x)?x?ax?2x?b（x?R），其中a,b?R．
（Ⅰ）当a??103时，讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a?[?2,2]，不等式f?x??1在[?1,1]上恒成立，求b的取值范围． 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：f?(x)?4x?3ax?4x?x(4x?3ax?4)．
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