概率统计习题库
F(x)???0,x?1 [x]?1?q,x?116．解：已知X的概率密度函数为
kkn?k P{X?k}?Cnpq,k?0,1,2,?,n
考虑比值
kkn?kCnpqP{X?k}?k?1k?1n?k?1P{X?k?1}Cnpq
? 由此可知
(n?k?1)p(n?1)p?k?1?kqkq
① 当k?(n?1)p时，上式右端大于1，有 P{X?k}?P{X?k?1} 即概率函数单调增加
② 当k?(n?1)p时，上式右端小于1，有 P{X?k}?P{X?k?1} 即概率函数单调下降
所以有
（1） 如果(n?1)p不是整数，设x0?[(n?1)p]是(n?1)p的整数部分，则P{X?x0}为最大值。 （2） 如果(n?1)p是整数，设x0?(n?1)p，则P{X?x0}?P{X?x0?1}都是最大值。
17．解：已知X的概率密度函数为 P{X?k}? 考虑比值
?kk!e??,k?0,1,2,?
?k
P{X?k}?!?k?
?k?1??kP{X?k?1}e(k?1)!e?? 由此可知
① 当k??时，上式右端大于1，有 P{X?k}?P{X?k?1}
② 当k??时，上式右端小于1，有
P{X?k}?P{X?k?1} 所以有
第 46 页 共 92 页
概率统计习题库
（1）如果?不是整数，设x0?[?]是?的整数部分，则P{X?x0}为最大值。 （2）如果?是整数，设x0??，则P{X?x0}?P{X?x0?1}都是最大值。
（3）当0???1时，
P{X?k}?1,k?0时取得最大值。
P{X?k?1}xi?x18．解：（1） 根据F(x)?P{X?x}??P(x)，可得X的分布函数为
i?0,?0.1,??0.3,? F(x)??0.55,?0.75,??0.9,??12x??2?2?x??1?1?x?00?x?1 1?x?22?x?3x?3 （2）Y?X的可能取值为0，1，4，9，相应的概率为
P{Y?0}?P{X?0}?0.25P{Y?1}?P{X??1}?P{X?1}?0.2?0.2?0.4P{Y?4}?P{X??2}?P{Y??2}?0.1?0.15?0.25P{Y?9}?P{X?3}?0.1
故，Y?X的概率分布为
19．解：因为
Y P 0 0.25 1 0.4 4 0.25 9 0.1 2??1,n?4k?1;n?? sin()??1,n?4k?3;k?1,2,3,?.
2?0,n?2k;? 所以，函数Y?sin(?2X)只有三个可能值：-1，0，1；而取得这些值的概率分别是
11112??????,371112228(1?)151611111?, p(0)?2?4?6??? 122234(1?)411118p(1)??5?9????,12222(1?)1516p(?1)? 于是得到Y的概率分布为
第 47 页 共 92 页
概率统计习题库
Y
P(y)
20．解：由题设X的概率分布函数为
X
P
-1 2/15 0 1/3 1 8/15 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 （1） 根据F(x)?P{X?x}?xi?x?P(x) 得
ix?0?0,?0.216,?0x?1??1?x?2 F(x)??0.648,?0.936,2?x?3?x?3??1,1（2）Y?X(3?X)的可能取值为0，1相应的概率为
2P{Y?0}?P{X?0}?P{X?3}?0.2?160.?064
P{Y?1}?P{X?1}?P{X?2?}0.4?320.?2880.72 于是得到Y的概率分布为
Y
P(y)
0 0.28 1 0.72 参考答案第三章、多维随机变量极其分布
1．解：（1）设X及Y分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，则我们有联合概率函数为
i4?i?jC3C5jC2 P(X?i,Y?j)? ， 4C16 其中i?0,1,2,3;j?0,1,2,3,4;2?i?j?4. 由此得（X ，Y）的二维联合概率分布如下：
X Y 0 1 2 3
0 0 0 3/210 25/210
ijj 1 0 15/210 30/210 5/210 2 10/210 60/210 30/210 0 3 20/210 30/210 0 0 4 5/210 0 0 0
（2）根据pX(xi)? X pX(xi)
根据pY(yj)??p(xy)得X的边缘分布为：
1 2 3 0 5 30ij15 309 301 30?p(xy)得Y的边缘分布为：
i第 48 页 共 92 页
概率统计习题库 Y 0 1 2 3 4 pY(yj) 1 4210 4220 4210 421 422．解：（1）（X ，Y）的可能取值为（0 ，0），（0 ，1），（1 ，0），（1 ，1），相应的概率为 95941786??,10099198095595P(0,1)???,100991980
59595P(1,0)???,100991980544P(1,1)???,100991980P(0,0)? 故：（X ，Y）的二维联合概率分布如下：
X Y 0
0 1
（2）根据pX(xi)?
根据pY(yj)?
ii 1
1786 198095
1980ijj95 19804
1980
?p(xy)得X的边缘分布为
X pX(xi) 0 1 1881 198099 1980?p(xy)得Y的边缘分布为
jY 0 1 188199 pY(yj) 19801980 3．（1）X的可能取值为0，1，2，3. Y的可能取值为0，1，2，3. （X ，Y）的联合概率函数为
P{X?i,Y?j}?i?0,1,2,3,3!111?()i?()j?()3?i?ji!j!(3?i?j)!333 j?0,1,2,3,0?i?j?3 故 （X ，Y）的二维联合概率分布为
X Y 0 1 0 1/27 3/27 1 3/27 6/27 2 3/27 3/27 3 1/27 0
2
3/27 3/27 0 0 3 1/27 0 0 0
第 49 页 共 92 页
概率统计习题库
（2）根据pX(xi)?
?p(xy)得X的边缘分布为
ijjX pX(xi) 0 1 2 3 8 2712 276 271 27根据pY(yj)?
4．解：（1）由于
?p(xy)得Y的边缘分布为
ijiY 0 1 2 3 pY(yj) 8 2712 276 271 2711?1?33 111
P(2,1)?P{X?2}?P{Y?1X?2}???326111P(2,2)?P{X?2}?P{Y?2X?2}???326P(1,1)?P{X?1}?P{Y?1X?1}? 同理可得
111P(3,1)?P(3,2)?P(3,3)??? 339
P(1,2)?P(1,3)?P(2,3)?0 故 （X ，Y）的二维联合概率分布为
X Y 1
1 2 3
（2）根据pX(xi)?
根据pY(yj)?
i 2 0 1/6 1/9
3 0 0 1/9
1/3 1/6 1/9
ij?p(xy)得X的边缘分布为
jX pX(xi) 1 2 3 1 31 31 3?p(xy)得Y的边缘分布为
ijY 1 2 3 1152 p(y) Yj 181818
5．解：（1）（X ,Y）的可能取值为（0 ,0），（0 ,1），（1 ,0），（1 ,1）.相应的概率为 P(0,0)?P(0,1)?P(1,0)?P(1,1)? 故 （X ，Y）的联合概率分布为
第 50 页 共 92 页
111?? 224