概率统计习题库
T?(X?Y)?(?1??2)~t(n1?n2?2)，
11Sw?n1n22(n1?1)S12?(n2?1)S2其中 Sw? .
n1?n2?227. 设总体X~N(?1,?12)，总体Y~N(?2,?2)，证明：统计量
1F?n?~F(n1,n2).
12(Y??)?j22n2?2j?1211i?1n2?(Xn1i??1)228. 设总体X~N(?1,?12)，总体Y~N(?2,?2)，证明：统计量
S12/?12F?22~F(n1?1,n2?1).
S2/?29. 设总体X ~ N（0，9），X1,X2,?,X7 ??2是取自总体X的样本，证明：统计量
11222(X1?X2?X)?(X?X?X?X)~?(2)。 345672736是取自总体X的样本，证明：统计量
10. 设总体X ~ N（0，4），X1,X2,?,X5122X12?X2???X10Y?~F(10,5)。 2222(X11?X12???X15)11. 设总体X~N(0,?2)，X1,X2,X3,X4是取自总体X的样本，证明：统计量
Y?3X1X?X?X222324~t(3)
1011102Y1?(X3?X4?X5)，是取自总体X的样本，Y2??[Xi??Xi]2，
35i?6i?612. 设总体X ~ N（0，1），X1,X2,?,X0122，Z?Y1?Y2?Y3，证明：统计量Z~?(7)。 Y3?X12?X2213. 设随机变量X~t(k)，证明：随机变量函数Y?X~F(1,k).
14. 若随机变量X~F(k1,k2)，证明：随机变量Y?1~F(k1,k2)，从而有 XF?(k1,k2)?1/F1??(k2,k1).
第七章、参数估计
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一、选择题：
221．若X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，且DX = ?，又X与S分别是样本均值与样本方差，则必有 （ ）
A．S是?的矩法估计量 B．S是?的最大似然估计量 C．E(S2)?E(X) D．E(S2)??2
2222
2．若总体X在（0，?）上服从均匀分布，?>0，X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，则?的矩法估计量为 （ ）
A．X B．2X C．S D．2S
}?3．若总体X的分布律为 P{X?x?xe??x!,x?0,1,?2 而1，2，5，7，8是X的样本观测值，则?的
最大似然估计值为 （ ）
A．4 B．5 C．23/5 D．3 4．若总体X~N(?,?) ，已知σ2 =σ20 ，则未知参数μ的置信区间为 （ ）
n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. A. ?,22x?x???1?22????2??22?(n?1)s(n?1)s?,2 ?x2?x????1??22?C. ?x????0?u?,x?u?? D. n2n2??0??sst?,x?t?? ?x?n2n2??5．若总体X~N(?,?) ，未知σ2，则未知参数μ的置信区间为 （ ）
n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. A. ?,22x?x???1?22????2??22?(n?1)s(n?1)s?,2?x2? x????1??22?C. ?x????0nu?,x?2?02?u?? D. n2???ssx?t,x?t????
n2n2??6．若总体X~N(?,?) ，已知μ=μ0 ，则未知参数σ2的置信区间为 （ ）
n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. ,A. ?22x?x???1?22??????22?(n?1)s(n?1)s?,2 ?x2?x????1??22?第 27 页 共 92 页
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C. ?x????0?u?,x?u?? D. n2n2??0??sst?,x?t?? ?x?n2n2??7．若总体X~N(?,?2) ，未知μ，则未知参数σ2的置信区间为 （ ）
n?n22?(x??)(x??)?0i0??i?i?1i?1? B. A. ?,22x?x???1?22??????22?(n?1)s(n?1)s? ,2?x2?x????1??22?C. ?x????0nu?,x?2?0?u?? D. n2???ssx?t,x?t????
n2n2??8．若X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，DX = σ2 ，则以下估计量中最有效的是（ ）
122111X1?X2?X3 B．X1?X2?X3 555333111111C．X1?X2?X3 D．X1?X2?X3
632442A．
9．若X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，EX = μ，DX = σ2 ，则 （ ） A．max{X1,X2,?,Xn}是μ的无偏估计量 B．X是μ的无偏估计量
22C．X12,X2都是σ2的无偏估计量 D．X是σ2的无偏估计量 ,?,Xn2
二、填空题：
1. 已知总体X~N(?,?2)，已知???0，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。 2. 已知总体X~N(?,?)，未知?，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。 3. 已知总体X~N(?,?2)，已知???0，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。 4. 已知总体X~N(?,?)，未知?，则参数?的置信度为1??的置信区间为 。
222
22三、判断题：
1. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，且EX??,DX??，则X是?的无偏估计量。 2. 若X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本，且EX??,DX??，则X是?的无偏估计量。 3. 若??是?的有效估计量，则??是?的无偏估计量。 4. 若??是?的无偏估计量，则??一定是?的有效估计量。
5. 进行区间估计时，置信水平1??就是参数?的样本观测值落在置信区间的概率。 6. 进行区间估计时，置信区间就是参数?的置信水平1??的取值区间。 7. 统计量是样本函数。
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8. 若样本函数中不含有总体分布的参数以外的任何参数，则它一定是统计量。
????(x,x,?,x)是参数?的最大似然估计值，则样本观测值x,x,?,x出现的概率最大。 9. 若?12n12n????(x,x,?,x)是?的矩法估计量，则??一定是?的无偏估计量。 10. 若?12n四、计算题：
1.设总体X在[0,?]上服从均匀分布，即
?1?,f(x)?????0,0?x??其它
其中?＞0是未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求?的矩估计值。 2. 设总体X服从正态分布N，即 （?，?）2 f(x)?1e?2??(x?u)22?2,???x???
其中?及?都是未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求?及?的矩估计值。 3.设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，即
P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,?;??0
其中λ为未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数λ的矩法估计值。 4．设总体X服从正态分布N，即 （?，?）2 f(x)?2
1e?2??(x?u)22?2,???x???
2
其中?及?都是未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求?及?的最大似然估计值。 5.设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，即
P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,?;??0
其中λ为未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数λ最大似然估计值。 6．设总体X服从指数分布e(λ),概率密度为
??e??x,x?0 f(x)???0,x?0 其中λ＞0为未知参数，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数λ的最大似然估计值。
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7．设总体X服从“0—1”分布，即
P?x,p??px?1?p?1?x,x?0,1
如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数P的最大似然估计值。 8．设总体X服从几何分布，即
p?x,p??p?1?p?x?1,x?1,2???
如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数P的最大似然估计值。 9．设总体X的概率密度为
??x??1,0?x?1 f(x)???0,其他 其中θ＞0，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数θ的最大似然估计值。 10．设总体X的概率密度为
??x??1,0?x?1 f(x)???0,其他 其中θ＞0，如果取得的样本观测值为x1,x2,?,xn，求：（1）EX；（2）参数θ的矩法估计值。
五、证明题：
1. 证明：样本均值X是总体均值?的无偏估计量。 2. 证明：样本方差S是总体方差?的无偏估计量。
3. 证明：样本均值X是总体均值?的一切线性无偏估计量中最有效的。 4. 证明：样本均值X是总体均值?的一致估计量。
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第八章、假设检验
一、应用题：
1．某工厂正常情况下生产的电子元件的使用寿命X~N(1600,80)，从该工厂生产的一批电子元件中抽取9个，测得它们使用寿命的平均值为1540（小时），如果使用寿命的标准差?不变，能否认为该工厂生产的这批电子元件使用寿命的均值?=1600（小时）？
（附：检验水平??0.05,u0.05?1.645,u0.025?1.96,t0.05(8)?1.86,t0.025(8)?2.31 ）
2．.某工厂正常情况下生产的电子元件的使用寿命X~N(1600,80)，从该工厂生产的一批电子元件中抽取9个，测得它们使用寿命的平均值为1540（小时），如果使用寿命的标准差?不变，能否认为该工厂生产的这批电子元件使用寿命显著降低？
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