概率统计习题库
p{0?X?1}??1??e?x21?xedx02
111?1??e0221 （3）根据F(x)??x??f(t)dt得
1t1edt?ex ??22x ① 当x?0 时
F(x)??② 当x?0 时
F(x)??综上所述，得
x11t1edt??e?tdt?1?e?x ??20220?1xe,x?0??2F(x)???1?1e?x,x?0??25．解：对于任意的实数y, 我们有
FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)
因为随机变量X的取值区间是[0，?]，所以随机变量Y的取值区间是[0，1]，易知：
（1） 当y?0时，FY(y)?0 （2） 当y?1时，FY(y)?1 （3） 当0?y?1时，
FY(y)?P(sinX?y)?P{(0?X?arcsiny)?(??arcsiny?X??)}??arcsiny10?dx???1??arcsiny?dx?2?arcsiny
所以，随机变量Y的分布函数
y?0?0,?2?FY(y)??arcsiny,0?y?1
??y?1??1,2?,0?y?1?2 上式两边对y求导，得Y的概率密度为f(x)???1?y
?0,其它?6．解：（1）根据F(x)??x??f(t)dt 得
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① 当x?0 时， F(x)? ② 当0?x?1时，F(x)??x??0d?t 0?00??0dt??2tdt?t201xxx?x2 0 ③ 当x?1时， F(x)????0dt??2tdt??0dt?1
01?0,x?0?2 综上所述，得 F(x)??x,0?x?1
?1,x?1?（2）由于X的可能取值区间为[0，1]，故Y?X的可能取值区间为[0，1]，Y?X 的分布函数为 FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y} ① 当y?0时，{X2?y}??,FY(y)?P(?)?0 ② 当0?y?1时，FY(y)?P{Y?y}?P{0?X?22y}??y02xdx?x2y?y 0③ 当y?1时， {X2?y}??，故FY(y)?P(?)?1
x?0?0,?综上所述，得FY(y)??y,0?x?1
?1,x?1?故Y?X的概率密度为FY(y)?2?1,0?x?1d FY(y)??dy?0,其它F(??)?lim(A?Barctanx)?A?B?7．解：（1）由
x????2?1F(??)?lim(A?Barctanx)?A?B?(?)?0x???2 解之得 A? （2）所求的概率为
?
1111 ，B? F(x)??arctanx,???x???
?22?P{?1?x?1}?F(1)?F(?1) 11111
?(?arctan1)?[?arctan(?1)]?2?2?2 （3） f(x)?F?(x)?8．解：（1）由
1,???x??? 2?1?x?1第 42 页 共 92 页
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?F(??)?limA?Be?2x?A?1?x??? ? ??2xF(0)?limA?Be?A?B?F(0)?0?x?0???1?e?2x,x?0 解之得 A?1,B??1 F(x)??
x?0?0, （2）所求的概率为
P{0?x?1}?F(1)?F(0)?(1?e?2?1)?0?1?e?2
?2e?2x,x?0 （3） f(x)?F?x (?)??0,x?09．解：（1）由F(x)的连续性有
limAx?A?F(1)?1
x?12?0,x?0?2 得 A = 1 F(x)??x,0?x?1?1,x?1? （2） f(x)?F?(x)??
?2x,0?x?1
?0,其它10．解：（1）由题设X的概率密度为
?1?,2?x?6 f(x)??4
??0,其它 从而 P{X?3}??6313dx? 4433 的二项分布，即Y~B(3,)， Y44 由于Y表示观测值大于3的次数，故Y服从参数为 n?3,P?的概率分布为
P{Y?k}?C3()() （2）故所求的概率为
k34k143?k,k?0,1,2,3
P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}3127333?C32()2()1?C3()?44432
11．解：（1）设随机变量X是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以X的可能值是1，2，3，4. 易
知
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2?0.4,532P(X?2)???0.3,54
322P(X?3)????0.2,5433212P(X?4)?????0.1.5432P(X?1)? 因此，所求的概率分布为： X P（xi）
（2）根据 F(x)?P{X?x}?xi?x 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 ) ?px( 得
i?0,???x?1?0.4,1?x?2?? F(x)??0.7,2?x?3
?0.9,3?x?4???1,4?x???12．解：（1）X的可能值是0，1，2，3. 易知
P(X?3)?0.6,P(X?2)?0.4?0.6?0.24,P(X?1)?0.4?0.4?0.6?0.096,P(X?0)?0.4?0.4?0.4?0.064.因此，所求的概率分布为 X 0 1 0.096
2 0.24 3 0.6 P（xi） 0.064 （2）根据 F(x)?P{X?x}?xi?x) ?px( 得
i?0,???x?0?0.064,0?x?1??F(x)??0.16,1?x?2
?0.4,2?x?3?3?x?????1,13．解：（1）X的可能值是3，4，5. 易知
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21C2C11P(X?3)???0.13C5101C32C13P(X?4)???0.3, 3C51021C4C16P(X?5)???0.63C510因此，所求的概率分布为
X 3 4 0.3 5 0.6 P（xi） 0.1 （2）故所求的概率为
P{X?4}?P{X?3}?P{X?4}?0.1?0.3?0.414．解：（1）X的可能值是?3l,?l,l,3l. 易知
P(X??3l)?p3,1P(X??l)?C3?p2?q?3p2q,P(X?l)?C?p?q?3pq,P(X?3l)?q3.因此，所求的概率分布为
X p(xi) 2）故所求的概率为
?3l p 31322
?l 3pq 2 l 3pq 2 3l q 3P{X?0}?P{X?l}?P{X?3l}?3pq2?q3.15．解：（1）X的可能值是1,2,?. 易知
P(X?k)?pqk?1,k?1,2,?,q?1?p
这就是X的概率函数。 （2）根据 F(x)?P{X?x}?xi?x) ?px( 得
i① 当x?1 时， F(x)?0
② 当k?x?k?1时
F(x)?p?pq?pq2???pqk?1?1?q?1?q,k?1,2,? 综上所述，得
k[x]
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