概率统计习题库
A．（X ，Y） B．X + Y C．X2 D．X - Y 70．若X与Y独立同分布，U = X + Y，V = X – Y，则U与V必有 （ ）
A．相互独立 B．不相互独立 C．相关系数为0 D．相关系数不为0 9．设随机变量（X，Y）的可能取值为（0，0）、（-1，1）、（-1，2）与（1，0）相应的概率分别为
111，，，2cc4c5，则c的值为 （ ） 4cA．2 B．3 C．4 D．5 10．若X与Y独立，且P{X?0}?（ ） A．P{X?Y}?1212，P{X?1}?，P{Y?0}?，P{Y?1}?，则以下正确的是 33335 B．P{X?Y}?1 C．P{X = Y}=0 D．均不正确 921．设X与Y 相互独立，且X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2)，则Z = X +Y仍服从正态分布，且有
（ ）
22A．Z~N(?1?2,?12??2) B．Z~N(?1??2,?12??2) 22C．Z~N(?1??2,?12?2) D．Z~N(?1?2,?12?2)
2．若X与Y均相互独立且服从标准正态分布，则Z = X + Y （ ） A．服从N（0，2） B．服从N（0，1） C．服从N（0，2） D．不一定服从正态分布 3．若X与Y独立，且X ~ N（0，1），Y ~ N（1，1），则 （ ）
1111 B．P{X?Y?1}? C．P{X?Y?0}? D．P{X?Y?1}? 2222aXb?,要使Y ~ N（0，1）9．已知X ~N（1，4），Y?，则 （ ）
111A．a?2,b??2 B．a??1,b?2 C．a?,b??1 D．a?,b?
222A．P{X?Y?0}?110010．若总体X?N(1,2)，且统计量Y?aX?b?a?Xi?b?N(0,1)，则有（ ） ?100i?12A． a=-5, b=5 B．a=5, b=5 C． a=0.2, b=0.2 D．a=-0.2, b=0.2
11．设随机变量X服从正态分布X~N（0，1） Y=2X-1，则Y~ （ ） A．N（0，1） B．N（-1，4） C．N（-1，1） D．N（-1，3）
12．已知随机变量X服从正态分布N（2，22）且Y=aX+b服从标准正态分布，则 （ ） A．a = 2 , b = -2 B．a = -2 , b = -1 C．a = 1/2 , b = -1 D．a = 1/2 , b = 1 13．若X~N（1，1）密度函数与分布函数分别为f(x)与F(x) ，则 （ ）
A．P(X?0)?P(X?0) B．P(X?1)?P(X?1) C．f(x)?f(?x) D．F(?x)?1?F(x)
14．设X~N(?,?)，则随?的增大，概率P{X????} （ ） A．单调增加 B．单调减少 C．保持不变 D．增减不定
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2概率统计习题库
15．设随机变量X~N(?,?2)，且P{X?c}?P{X?c}，则c= （ ） A．0 B．? C．? D．?/?
16．设随机变量?~N（0，1），?=2?+1 ，则 ?~ （ ） A．N（1，4） B．N（0，1） C．N（1，1） D．N（1，2） 17．若随机变量X~N(2,22)，则D(1X)= （ ） 2A．1 B．2 C．1/2 D．3
二、填空题：
1. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X = -1} = P{Y = -1}= P{X = 1}= P{Y = 1} = 1/2，则P{X = Y} = . 2.则P{X +Y = 0} = . 3.则P{X > Y} = . 4.则P{X ?Y } = . 5. 设随机变量
X
与
Y
相互独立且P{X?0,Y?0}?34,P{X?0}?P{Y?0}?，则77P{maXx(Y?,) 。 =
?122?,x?y?16. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??? ，则随机变量X的边缘分布密度为
?其他?0,fX(x)= 。
?122?,x?y?17. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??? ，则随机变量Y的边缘分布密度为
?其他?0,fY(y)= 。
8. 若随机变量X与Y独立，其概率密度分别为
?e?y,y?0?2x,0?x?1fX(x)??,fY(y)??，则（X、Y）的联合概率密度为 = 。
0,其他0,y?0??9. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)???cxy,0?x?y?1 ，则C = 。
?0,其他?ce?(2x?3y),x?0,y?010. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，则C = 。
0,其他??6e?(2x?3y),x?0,y?011. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，则X的边缘概率密度为
0,其他?fX(x)= . 12.，则Y的边缘概率密度为fY(y)= 。 13.则P{2X?3Y?6}= 。
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14. 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x，y)?A(B?arctan)(C?arctan为 = 。
15. 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x，y)?缘分布函数为FX(x)= 。
16.则随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)= 。
x2y)，则系数A、B、C分别31?x?y(?arctan)(?arctan)，则随机变量X的边2?222317.则随机变量（X，Y）的联合概率密度为= 。
18. 若随机变量（X，Y）在以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，则随机变量（X，Y）的联合概率密度为= 。
三、判断题：
1. 若F(x,y)是（X，Y）的联合分布函数，FX(x)与FY(y)分别是X与Y的边缘分布函数，则
F(x,y)?FX(x)?FY(y)。
2. 若F(x,y)是（X，Y）的联合分布函数，FX(x)与FY(y)分别是X与Y的边缘分布函数，且
F(x,y)?FXx(?)FYy(，则)X与Y独立。
3. 若（X，Y）的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式P(xi,yj)?PX(xi)?PY(yj)，i、j?1,2,? ，则X与Y独立。
4. 若随机变量X与Y独立，则P(xi,yj)?PX(xi)?PY(yj)，i、j?1,2,? 。 5. 若F(x,y)是二维连续随机变量（X，Y）的分布函数，则F(x,y)是连续的。
（x,y）（x,y）6. 若f是二维连续随机变量（X，Y）的密度函数，则f一定连续。
7. 若F(x,y)是二维连续随机变量（X，Y）的分布函数，则F(x,y)是非负有界函数。
（x,y）（x,y）8. 若f是二维连续随机变量（X，Y）的密度函数，则f是非负有界函数。
9. 若（X，Y）是二维均匀分布，则边缘分布X也是均匀分布。 10. 若（X，Y）是二维正态分布，则X的边缘分布也是正态分布。
11. 若X与Y独立，且X与Y均服从均匀分布，则X+Y也服从均匀分布。 12. 若X与Y独立，且X与Y均服从正态分布，则X+Y也服从正态分布。 13. 若X与Y独立，且X与Y均服从二项分布，则X+Y也服从二项分布。 14. 若X与Y独立，且X与Y均服从泊凇分布，则X+Y也服从泊凇分布。
15. 若F1(x)和F2(x)分别是X与Y的分布函数，则F1(x)?F2(x)可以作为某个随机变量的分布函数。 16. 若f1(x)和f2(x)分别是X与Y的密度函数，则f1(x)?f2(x)可以作为某个随机变量的密度函数。 17. 若F1(x)和F2(x)分别是X与Y的分布函数，则
12F1(x)?F2(x)可以作为某个随机变量的分布函数。 33第 13 页 共 92 页
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18. 若f1(x)和f2(x)分别是X与Y的密度函数，则
12f1(x)?f2(x)可以作为某个随机变量的密度函数。 3319. 若F1(x)和F2(x)分别是X与Y的分布函数，且X与Y独立，则F1(x)?F2(x)是X+Y的分布函数。 20. 若f1(x)和f2(x)分别是X与Y的密度函数，且X与Y独立，则f1(x)f2(x)是XY的密度函数。
四、计算题：
1．已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，从这批产品中任取4件产品，用X及Y分别表
示取出的4件产品中一等品及二等品的件数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。 2．一批产品中共有100件产品，其中5件是次品，现进行不放回抽样，抽取2件产品，用X与Y分别表示第一次与第二次取得的次品数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y的边缘分布。
3．把3个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，用X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。 4．一整数X随机地在1、2、3中取一值，另一整数随机地在1到X中取一值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
5．一枚均匀硬币连掷两次，用X与Y分别表示第一次及第二次出现正面的次数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。 6．设二维随机变量（X,Y）在矩形域D?{(x,y)a?x?b,c?x?d}上服从均匀分布，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
?2e?(x?2y),x?0,y?07．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，
其他?0,求：（1）X与Y的边缘概率密度；（2）X与Y是否独立。
8．设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
xyF(x,y)?A（B+arctan)(C+arctan)
23 求：（1）系数A、B及C；（2）（X，Y）的联合概率密度。
?Ae?(2x?3y),x?0,y?09．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)?? ，
其他?0, 求：（1）系数A；（2）（X，Y）的联合分布函数。
10．设随机变量X与Y独立，X ~ U（0，2），Y~e (2)，即
?1?2e?2y,y?0?,0?x?2fX(x)??2 ，gY(y)?? ，
y?0?0,?其它?0, 求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）P{X≤Y}
?1?,11．设随机变量（X，Y）的联合概率分布为f(x,y)?????0, 求：（1）X与Y的边缘分布；（2）Z=X+Y的概率密度。 12．设随机变量（X、Y）的联合概率分布为
22x2?y2?1其他
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概率统计习题库 Y X -1 2
-1 1 2 5 203 202 203 206 201 20求：（1）X与Y的边缘分布；（2）Z = X+Y的概率分布。 13．设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的概率分布为 X -3 -2 -1 Y 1 2 3 PX(xi) 1 41 42 4PY(yj) 2 51 52 5 求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。 14．设随机变量X与Y独立，且都服从二项分布：
11kP{X?k}?C2?()k?()2?k,k?0,1,222
21kP{Y?k}?C2?()k?()2?k,k?0,1,233 求：Z = X+Y的概率分布。
15．设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布， 求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）Z = X+Y的概率分布。 16．已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?4xy,0?x?1,0?y?1 ， f(x,y)??0,其他? 求：（1）联合分布函数F(x,y)；2）X与Y的边缘概率密度。 17．设U与V独立同分布，且P{U?i}?P{V?i}? 又设X?max{U,V},Y?min{U，V}， 求：（X，Y）的联合概率分布。 18．已知P(A)? 令X??1,i?1,2,3 3111,P(BA)?,P(AB)?, 432?1,A发生，?1,B发生，Y??
0，A不发生，0，B不发生，??求：（X、Y）的联合概率分布。
19．已知随机变量X与Y的概率分布为 X -1 0 1 第 15 页 共 92 页