概率统计习题库 Y 0 1 PX(xi) 1 41 21 4PY(yj) 1 21 2 且P{XY = 0}=1，求：（1）（X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y是否独立。 20．设随机变量U在[-2，2 ]上服从均匀分布，令
??1,U??1，X???1，U??1，??1,U?1， Y???1，U?1求：（X，Y）的联合概率分布。
第四章、随机变量的数字特征
一、选择题：
?0,x?1?41．设随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1 ，则EX= （ ）
?1,x?1?A．
?10xdx B．
411??1544xdx C． D．?04?04xdx?0xdx??1xdx 12．设X是随机变量，x0是任意实数，EX是X的数学期望，则 （ ） A．E(X?x0)2?E(X?EX)2 B．E(X?x0)2?E(X?EX)2 C．E(X?x0)2?E(X?EX)2 D．E(X?x0)2?0
3．已知X~B(n,p)，且EX=2.4，EX=1.44，则参数n,p的值为 （ ）
A．n= 4，p= 0.6 B．n= 6，p= 0.4 C．n= 8，p= 0.3 D．n= 24，p= 0.1
24．设X是随机变量，且EX?a，EX?b，c为常数，则D（CX）=（ ）
A．c(a?b) B．c(b?a) C．c(a?b) D．c(b?a) 5．设随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a，b的值为 （ ） A．a= 0，b= 6 B．a= 1，b= 5 C．a= 2，b= 4 D．a= -3，b= 3 6．设?服从指数分布e(?)，且D?=0.25，则?的值为 （ ） A．2 B．1/2 C．4 D．1/4
7．设随机变量?~N（0，1），?=2?+1 ，则 ?~ （ ） A．N（1，4） B．N（0，1） C．N（1，1） D．N（1，2） 8．设随机变量X的方 差DX =?，则D(aX?b)= （ ）
2A．a??b B．a??b C．a? D．a?
2222222
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9．若随机变量X的数学期望EX存在，则E[E(EX)] = （ ） A．0 B．EX C．(EX)2 D．(EX)3 10．若随机变量X的方差DX存在，则D[D(DX)]= （ ） A．0 B．DX C．(DX)2 D．(DX)3 11．设随机变量X满足D（10X）=10，则DX= （ ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 12．已知X1，X2，X3都在[0，2]上服从均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)= （ ） A．1 B．2 C．3 D．4
13．若X1与X2都服从参数为1泊松分布P（1），则E(X1?X2)= （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．若随机变量X的数学期望与方差均存在，则
22A．EX?0 B．DX?0 C．(EX)?DX D．(EX)?DX
15．若随机变量X~N(2,22)，则D(1X)= （ ） 2A．1 B．2 C．1/2 D．3
16．若X与Y独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y）= （ ） A．9 B．15 C．21 D．27
17．设DX = 4，DY = 1，?XY= 0.6，则D(2X-2Y) = （ ） A．40 B．34 C．25.6 D．17.6
18．设X与Y分别表示抛掷一枚硬币n次时，出现正面与出现反面的次数，则?XY为（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定
19．如果X与Y满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ ） A．X与Y独立 B．?XY= 0 C．DX-DY = 0 D．DX?DY=0 20．若随机变量X与Y的相关数?XY=0，则下列选项错误的是 （ ） A．X与Y必独立 B．X与Y必不相关 C．E (XY ) = E(X) ?EY D．D (X+Y ) = DX+DY
二、填空题：
1. 设X表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则EX= . 2. 若随机变量X ~ B（n, p），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = ，P = . 3. 若随机变量X 服从参数为p的“0—1”分布，且DX = 2/9，DX?221,EX?，则EX = . 924. 若随机变量X在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = ,b = . 5. 若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则EX= . 第 17 页 共 92 页
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6. 若随机变量X 服从参数为?泊松分布 X~P(，且EX = 1，则DX = . ?)7. 若随机变量X 服从参数为?指数分布X~e(?)，且EX = 1，则DX = . 8. 若随机变量X 服从参数为2与?的正态分布X~N(2,?2)，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = . 9. 若X是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D（2X - 3）= . 10. 若X是一随机变量，D（10X）= 10，则DX = . 2X1X2?1)= 2，D(?1)?，则EX = . 11. 若X是一随机变量，E(22212. 若随机变量X 服从参数为n与p的二项分布X ~ B（n, p），EX = 2.4，DX = 1.44，则p{X?1} = . 13. 若随机变量X 服从参数为2与2的正态分布X ~ N(2,22)，则D(221X)= . 214. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e（2），则E(X?X)= . 15. 若随机变量X的概率密度为 f(x)???2x,0?x?1 ，则EX = ，DX = .
0,其他??0，y?0?316. 若随机变量X的分布函数为F(x)??y,0?y?1 ，则EX = . ?1,y?1?17. 若随机变量X1与X2都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则E(X1?X2)= . 18. 人的体重是随机变量X，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y，则EY = .
19. 若X与Y独立，且DX = 6，DY = 3，则D（2X-Y）= . 20. 若随机变量X与Y独立，则X与Y的相关系数为R（X，Y）= 。
三、判断题：
1. 对任意两个随机变量X与Y都有E（X+Y）= EX + EY 。 2. 若X是连续随机变量，则有D（X+Y）= DX + DY 。 3. 若随机变量X与Y独立，则有D（X+Y）= DX + DY 。 4. 若随机变量X与Y独立，则有E(XY)?EX?EY。 5. 若随机变量X与Y独立，则有D(XY)?DX?DY。
6. 若X与Y是两个随机变量，且有E（X+Y）= EX + EY，则有D（X+Y）= DX + DY 。 7. 若X与Y是两个随机变量，且有E(XY)?EX?EY，则有D（X+Y）= DX + DY 。 8. 若X与Y是两个随机变量，且有E(XY)?EX?EY，则有CoV（X，Y）= 0 。 9. 若X与Y是两个随机变量，且有E(XY)?EX?EY，则有?XY?0。
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10. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有CoV（X，Y）= 0 。 11. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有D（X+Y）= DX + DY 。 12. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有E(XY)?EX?EY。 13. 若X与Y是两个随机变量，且?XY?0，则有X与Y独立。 14. 若X与Y独立，则?XY?0。
15. 若X与Y独立，则CoV（XY）= 0 。
16. 若X与Y是两个随机变量，且D（X+Y）= DX + DY，则X与Y独立。 17. 对于任意的随机变量X都有?XY?0。 18. 对于任意的随机变量X都有EX?0。 19. 对于任意的随机变量X都有DX?0。
20. 若随机变量X的期望与方差均存在，则???0， 有P{X?EX??}?1?DX?2 。
四、计算题：
1．设随机变量X服从参数为p的0—1分布，即
P{X?0}?q,P{X?1}?p;p?q?1 求：数学期望EX与方差DX。 2．设随机变量X服从参数为n、p的二项分布，即
kk? P{X?k}?Cpnqk,?k0,1,?2,n n,;?q? 1p 求：数学期望EX与方差DX。
3．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即
P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,?;??0 求：数学期望EX与方差DX。
4．设随机变量X服从参数为p的几何分布，即
P{X?k}?pqk?1,k?1,2,?;q?1?p 求：数学期望EX与方差DX。
5．设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即
?1,? f(x)??b?a??0,a?x?b其他 求随机变量X的数学期望与方差。
6．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，即
??e??x,x?0f(x)??x?0?0,2(??0) 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
27．设随机变量X服从参数为?,?的正态分布N(?,?)，即
f(x)?1e?2??(x?u)22?2,???x??? 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
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8．设随机变量X的概率密度为
1?,x?1?2f(x)???1?x 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
?0,x?1?9．设随机变量X的概率密度为
1?xf(x)?e,???x??? 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
210．设随机变量X服从参数为1的指数分布，即
?e?x,x?0 求E(X?e?2X) f(x)???0,x?011．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即
P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2???;??0 且E???X?1??X?2????2，求参数λ.
12．设随机变量（X,Y）在以（0,1），（1,0），（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求：（1）（X,Y）的联
合概率密度；（2）E（X+Y）。
13．设二维随机变量（X,Y）的数学期望、方差及相关系数分别为 EX = EY =0，DX = DY = 2，R(X,Y)= 0.5， 求：（1）E（X +Y）;（2）D（X +Y）. 14．设随机变量（X，Y）的联合概率分布为
Y X 0 1 0 0.25 0.125 1 0.125 0.5 求：（1）cov(X,Y)；（2）R(X,Y). 15．设（X，Y）服从二维正态分布，且
X?N(1,32),Y?N(0,42),R(X,Y)??16．设随机变量X的数字特征满足：
1XY? ，求：EZ与DZ. 设 Z?232X2X1E(?1)?2,D(?1)?,EX?0 ， 求EX.
22217．设连续随机变量X的概率密度为
?ax?b,0?x?11 且DX? ，求：参数a , b及数学期望EX. f(x)??18?0,其他18．如果随机变量X服从正态分布N，且EX = 3，DX = 1，求P{-1≤X≤1 }。 （?，?）（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968） 19．已知随机变量X服从参数为n,p的二项分布B(n,p），且EX =2.4，DX =1.44，
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