G(j?1)?G(j?2)?G(j?3)? 当K变化时，系统穿越频率动。 假设当K分别为 ?500?21G0(j?)1??50G0(j?)2??20G0(j?)3??0.05 ?500?22?500?32?1,?2,?3不变，仅是幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移K1,K2和K3时，幅相曲线与负实轴的交点 (G(j?1),j0)(G(j?2),j0)和(G(j?3),j0)分别位于(-1，j0)点。即分别有 G(j?1)?G(j?2)?G(j?3)?由此求得 ?K1?21G0(j?1)??1G0(j?2)??1G0(j?3)??1 ?K2?22?K3?32K1?11??K2?21G0(j?1)1?1?10?50?5001?25?20?5001?1000?0.05?500 1?K3?22G0(j?2)1?1?23G0(j?3)作K变化时开环幅机曲线的四种形式，如图2所示。 46
图2 ? 由于v?2，故从??0的对应点起，逆时针补作半径无穷大的v??2??圆弧。于是可由此分别确定各幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数，并可应用奈氏判据判定系统的闭环稳 定性： （1）当0?K?10时，N?0,Z?0，系统闭环稳定； （2）当10?K?25时，N??1,Z?2，系统闭环不稳定； （3）当25?K?10000时，N?0,Z?0，系统闭环稳定； （4）当K?10000时，N??1,Z?2，系统闭环不稳定。 综上，使系统闭环稳定的K值范围为 0?K?10 和 25?K?10000 (10分) [10] 已知单位负反馈系统的开环传递函数 K*G(s)?s(s?4)(s2?4s?5) *K?0时系统的根轨迹图。 试按步骤作出(10分)[10] 求解步骤如下： （1）开环极点 p1?0,p2??4,p3,4??2?j （2）根轨迹在实轴上的区域 [0,?4]
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（3）根轨迹的渐近线 n?m?4,（4）分离点 ?a??2,?a??45o,?135o 1111????0dd?4d?2?jd?2?j 即 112(d?2)??2?0dd?4d?4d?5 整理得 d3?6d2?10.5d?5?0 为了求取分离点方程的根，将上式表示为 1?令等效开环传递函数为 10.5(d?0.476)?0d2(d?6) K1*(d?0.476)G1(d)?d2(d?6) 其中K1*?10.5。若令K1*从0变到??，其根轨迹如图所示。图中，渐近线?a??2.78，???2.627?a??90o；分离点d1???1.088,d2。 在图上，试探d??2，检验模值条件 K1*?2?2?4?10.51.524 符合要求，故d??2为分离点方程的一个根。利用综合除法，有 48
d3?6d2?10.5d?5?(d?2)(d2?4d?2.5)?(d?2)(d?0.775)(d?3.225)?0求得分离点 d1??0.775,分离角为90。 （5）根轨迹的起始角 od2??2,d3??3.225 ?p34??11?180????p3?pj??180o?arctg?arctg?180o?90o??90o22?j?1(j?3)? o?p?90or （6）根轨迹与虚轴交点：系统闭环特征方程为 s4?3s3?21s2?20s?K*?0 列劳思表 s4s3s2s11818.5370?8K*18.5K*2120K*0K*s0* 显然，当K?46.25时，根轨迹与虚轴相交，由辅助方程 18.5s2?46.25?0 求得交点得 K*?46.25,???1.58 根据以上各步骤，绘出系统根轨迹如图所示。 49
(9分) [11] 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 G(s)?⑴ Ks(0.2s?1)(0.5s?1) K*(s?5)G(s)?s(s?2)(s?3) ⑵ G(s)?⑶ (9分)[11]解 ⑴ K(s?1)s(2s?1) G(s)?K10K?s(0.2s?1)(0.5s?1)s(s?5)(s?2) p??5系统有三个开环极点：p1?0,p2??2,3 实轴上的根轨迹： ???,?5?, ??2,0? 渐近线： 0?2?57???????a33????(2k?1)????,?a?33 ? 分离点： 111???0dd?5d?2 解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。 32D(s)?s?7s?10s?10k?0 与虚轴的交点：特征方程为 50