系统稳定且为欠阻尼状态时根轨迹增益Kr的取值范围： Kr?3~9， （3分） 开环增益K与根轨迹增益Kr的关系： K?Kr （13分）
系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围： K?1~3 （1分）
六、（共22分）已知反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)?试：
1、用奈奎斯特判据判断系统的稳定性；（10分）
2、若给定输入r(t) = 2t＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，问开环增益K应取何值。 （7分）
3、求系统满足上面要求的相角裕度?。（5分）
六、（共22分）
解：1、系统的开环频率特性为
K ，s(s?1)G(j?)H(j?)?K
j?(1?j?)?（2分）
幅频特性：A(?)?
K?1??2， 相频特性：?(?)??90?arctan?（2分）
A?(0??)?起点： ??0?,?,?(?00；)（1分）90
(?)终点： ???,A??0?,?(?)?；（1分）
16
??0~?:?(?)??90?~?180?，
曲线位于第3象限与实轴无交点。（1分） 开环频率幅相特性图如图2所示。
判断稳定性：
开环传函无右半平面的极点，则P?0， 极坐标图不包围（－1，j0）点，则N?0
根据奈氏判据，Z＝P－2N＝0 系统稳定。（3分）
图2
2、若给定输入r(t) = 2t＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，求开环增益K：
系统为1型，位置误差系数K P =∞，速度误差系数KV =K ， （2分）
依题意： ess?分）
得 分）
AA2???0.25， （3KvKKK?8 （2
8
s(s?1) 故满足稳态误差要求的开环传递函数为 G(s)H(s)?3、满足稳态误差要求系统的相角裕度?： 令幅频特性：A(?)?分）
8?1??2?1，得?c?2.7， （2
?(?c)??90??arctan?c??90??arctan2.7??160?， （1分）
相角裕度?：?
?180???(?c)?180??160??20? （2分）
4、
三、(16分)已知系统的结构如图1 所示，其中G(s)?k(0.5s?1)，输入信号
s(s?1)(2s?1)为单位斜坡函数，求系统的稳态误差(8分)。分析能否通过调节增益 k ，使稳态误差小于 0.2 (8分)。 R(s) C(s) G(s)
一 图 1
17
三、(16分)
解：Ⅰ型系统在跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差为 ess?1 （2分） Kv而静态速度误差系数 Kv?lims?G(s)H(s)?lims?s?0s?0K(0.5s?1)?K （2分）
s(s?1)(2s?1)稳态误差为 ess?11（4分） ?。
KvK要使ess?0.2 必须 K?1（6分） ?5，即K要大于5。
0.2但其上限要符合系统稳定性要求。可由劳斯判据决定其上限。 系统的闭环特征方程是
D(s)?s(s?1)(2s?1)?0.5Ks?K?2s?3s?(1?0.5K)s?K?0 （1分） 构造劳斯表如下
32s3s2s1s0
233?0.5K3K1?0.5KK00为使首列大于0， 必须 0?K?6。
综合稳态误差和稳定性要求，当5?K?6时能保证稳态误差小于0.2。（1分）
四、(16分)设负反馈系统如图2 ，前向通道传递函数为G(s)?10，若采用测
s(s?2)速负反馈H(s)?1?kss，试画出以ks为参变量的根轨迹(10分)，并讨论ks大小对系统性能的影响(6分)。
R(s)
C(s) G(s) 一 H (s)
四、(16分)
解：系统的开环传函 G(s)H(s)?图2 10(1?kss)，其闭环特征多项式为D(s)
s(s?2)D(s)?s2?2s?10kss?10?0，（1分）以不含ks的各项和除方程两边，得
18
10kssK** ??1 （2分）??1 ，令 10ks?K，得到等效开环传函为 22s?2s?10s?2s?10参数根轨迹，起点：p1,2??1?j3，终点：有限零点 z1?0，无穷零点 ?? （2分） 实轴上根轨迹分布： ［－∞，0］ （2分）
d?s2?2s?10?实轴上根轨迹的分离点： 令 ???0，得
ds?s? s?10?0,s1,2??10??3.16
合理的分离点是 s1??10??3.16，（2分）该分离点对应的根轨迹增益为
2s2?2s?10K?ss??*1*K1?4.33，对应的速度反馈时间常数 ks??0.433（1分） 1010根轨迹有一根与负实轴重合的渐近线。由于开环传函两个极点p1,2??1?j3，一个有限零点z1?0
且零点不在两极点之间，故根轨迹为以零点z1?0为圆心，以该圆心到分离点距离为半径的圆周。
根轨迹与虚轴无交点，均处于s左半平面。系统绝对稳定。根轨迹如图1所示。（4分） 讨论ks大小对系统性能的影响如下：
（1）、当 0?ks?0.433时，系统为欠阻尼状态。根轨迹处在第二、三象限，闭环极点为共轭的复数极点。系统阻尼比?随着ks由零逐渐增大而增加。动态响应为阻尼振荡过程，ks2增加将使振荡频率?d减小（?d??n1??），但响应速度加快，调节时间缩短
（ts?3.5??n）。（1分）
（2）、当ks?0.433时（此时K?4.33)，为临界阻尼状态，动态过程不再有振荡和超调。（1分）
（3）、当ks?0.433(或K?4.33)，为过阻尼状态。系统响应为单调变化过程。（1分）
** 19
图1 四题系统参数根轨迹
五、已知系统开环传递函数为G(s)H(s)?k(1??s)试用奈奎斯特稳定,k,?,T均大于0 ，
s(Ts?1)判据判断系统稳定性。 (16分) ［第五题、第六题可任选其一］ 五、(16分)
解：由题已知： G(s)H(s)?系统的开环频率特性为
K(1??s),K,?,T?0，
s(Ts?1)K[?(T??)??j(1?T??2)]G(j?)H(j?)? 22?(1?T?),?(?00；)（1分）90
（2分）
开环频率特性极坐标图
A?(0??)? 起点： ??0?,?(?) 终点： ???,A??0?,?(?)0；270 （1分）
2与实轴的交点：令虚频特性为零，即 1?T???0 得 ?x?1 （2分） T?实部
G(j?x)H(j?x)??K?（2分）
－K? －1 开环极坐标图如图2所示。（4分）
由于开环传函无右半平面的极点，则P?0 当 K??1时，极坐标图不包围 （－1，j0）点，系统稳定。（1分） 当 K??1时，极坐标图穿过临界点 （－1，j0）点，系统临界稳定。（1分） 当 K??1时，极坐标图顺时针方向包围 （－1，j0）点一圈。
??0? 图2 五题幅相曲线 N?2(N??N?)?2(0?1)??2
20