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第四编 三角函数及三角恒等变换
§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
基础自测 ①{小于90°的角} ③{第一象限的角} 答案 ④
2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 . 答案
②{0°～90°的角} ④以上都不对
1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）.
? 323.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm，则扇形的中心角的弧度数是 . 答案 1或4
4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?= . 答案 -cos2
5. ?是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=答案
例1 若?是第二象限的角，试分别确定2?,解 ∵?是第二象限的角，
∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k2180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时， n2360°+45°＜
2x,则sin?= . 410 4?? ,的终边所在位置. 22? ＜k2180°+90°（k∈Z）， 2?＜n2360°+90°； 2?＜n2360°+270°. 2当k=2n+1（n∈Z）时， n2360°+225°＜
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∴
?是第一或第三象限的角. 2?＜k2120°+60°（k∈Z）， 3（3）∵k2120°+30°＜当k=3n（n∈Z）时， n2360°+30°＜
?＜n2360°+60°； 3?＜n2360°+180°； 3当k=3n+1（n∈Z）时， n2360°+150°＜
当k=3n+2（n∈Z）时， n2360°+270°＜∴
?＜n2360°+300°. 3?是第一或第二或第四象限的角. 3例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?, 所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r, ?180?∴?=?-2=(?-2)3??
????≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S=
1212r?=（?-2）r. 22（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) 扇形的面积S=S=
①
1lr，将①代入，得 2122(20-2r)r=-r+10r=-(r-5)+25, 2所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-235=10,?=
l=2. r所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.
例3 （14分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值. 解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角?的终边上任取一点P（4t,-3t） (t≠0),
2分
则x=4t,y=-3t,
r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,
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4分
当t＞0时，r=5t, sin?=tan?=
y?3t3x4t4???,cos?=??, r5t5r5t5y?3t3???; x4t4
8分
当t＜0时，r=-5t,sin?=cos?=tan?=
y?3t3??, r?5t5x4t4???, r?5t5y?3t3???. x4t4
12分
433,cos?=,tan?=?;
455
综上可知，t＞0时，sin?=?t＜0时，sin?=
433,cos?=-,tan?=?. 545
14分
例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥
13;(2)cos?≤?. 22解 （1）作直线y=
3交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?的2终边的范围，故满足条件的角?的集合为 ?|2k?+
2?≤?≤2k?+?，k∈Z . 331交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）2（2）作直线x=?即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为
?|2k?+
24?≤?≤2k?+?，k∈Z . 331.已知?是第三象限角，问
?是哪个象限的角？ 3解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z）， 60°+k2120°＜
?＜90°+k2120°. 3①当k=3m(m∈Z)时，可得
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60°+m2360°＜故
?＜90°+m2360°（m∈Z）. 3?的终边在第一象限. 3?＜210°+m2360°（m∈Z). 3②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m2360°＜故
?的终边在第三象限. 3?＜330°+m2360°（m∈Z）. 3③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 300°+m2360°＜故
?的终边在第四象限. 3?是第一、第三或第四象限的角. 3综上可知，
2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=∴ 的弧长为l=(2)∵S扇形OAB=
2?rad，r=6， 32?36=4?. 311lr=34?36=12?， 22S△ABO=
1232?12
r2sin=363=93， 2232∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93. 3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值. 解 ∵角?的终边在y轴上， ∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t. ∴r=x2?y2=02?t2=|t|. 当t＞0时，r=t, sin?=
ytyx0==1,cos?===0,tan?=不存在；
rtrtxyt==-1, r?t当t＜0时，r=-t，sin?=cos?=
0yx==0,tan?=不存在. r?tx综上可知：sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：
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（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sinx）. 解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥
1. 22
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
????∴x∈?2k??,2k???（k∈Z）.
33??（2）∵3-4sinx＞0,∴sinx＜
2
2
3, 4∴-
33＜sinx＜. 22利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x∈（k?-
一、填空题
1.已知cos?2tan?＜0,那么角?是第 象限角. 答案 三或四 2.若0＜x＜答案 ＞
3.与610°角终边相同的角表示为 . 答案 k2360°+250°(k∈Z) 4.已知（1sin2?）＜1,则?所在象限为第 象限. 2??,k?+）（k∈Z). 33?42，则sinx x（用“＞”,“＜”或“=”填空）. 2?2答案 一或三 5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第 象限. 答案 二 ????6.已知?∈??,?且sin?+cos?=a，其中a∈(0，1），则关于tan?的值，以下四个答案中，可能正确
?22?的是 （填序号）. ①-3
②3或
1 3③-
1 3 ④-3或-
1 3答案 ③
7.已知角?的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则答案 2
8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ,其中t∈［0,60］. 答案 10sin
sin?sin??cos?cos?? .
?t60
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