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其中，真命题的编号是 . 答案 ①④
????5.已知函数f(x)=2sin?x (?＞0)在区间??,?上的最小值是-2，则?的最小值等于 .
?34?答案
3 2
???例1 已知函数y=2sin?2x??,
3??(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
???(3)说明y=2sin?2x??的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 3??2????解 （1）y=2sin?2x??的振幅A=2,周期T==?，
23??初相?=
?. 3????,则y=2sin?2x??=2sinX. 33??（2）令X=2x+
列表，并描点画出图象：
（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移
????个单位，得到y=sin?x??的图象，再把
3?3?1??????y=sin?x??的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin?2x??的图象，
3?3?2??3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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??????最后把y=sin?2x??上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin?2x??的
3?3???图象.
方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的再将y=sin2x的图象向左平移
1倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象； 2?个单位； 6?????????得到y=sin2?x??=sin?2x??的图象；再将y=sin?2x??的图象上每一点的横坐标保持不变，纵
6?3?3???????坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin?2x??的图象.
3??例2 如图为y=Asin（?x+?）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，
?5???则A=-3，T=2???=?，
?63?∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）.
?????∵点N??,0?，∴-32+?=0，∴?=， 63?6????所求解析式为y=-3sin?2x??. 3??方法二 由图象知A=3，
①
????5??以M?,0?为第一个零点，P?,0?为第二个零点. ?3??6????????0???2???3列方程组? 解之得?2?. 5????????????3??6?2???∴所求解析式为y=3sin?2x??.
3??例3 （14分）已知函数f(x)=2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;
(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008). 解 （1）∵y=
AA- cos(2?x+2?), 22 ②
AA?- cos(2?x+2?) (A＞0, ?＞0,0＜?＜),且y=f(x)的最大值为222且y=f(x)的最大值为2，A＞0, ∴
AA+=2,A=2. 22又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,?＞0,
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∴
1?2??? ??=2, ?=. 42?2??
4分
∴f(x)=
22??????-cos?x?2??=1-cos?x?2??. 22?2??2????∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos??2??=-1.
?2?
6分
?2?2?=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+
?,k∈Z. 4
又∵0＜?＜
??，∴?=. 24 8分
(2)∵?=
??????,∴f(x)=1-cos?x??=1+sinx.
242??2
12分
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.
又∵y=f(x)的周期为4，2 008=43502,
∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008.
14分
1.已知函数y=3sin????1x??
4??2（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：
描点、连线,如图所示：
（2）方法一 “先平移，后伸缩”.
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先把y=sinx的图象上所有点向右平移
???????个单位，得到y=sin?x??的图象；再把y=sin?x??的图44?4???象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
?????1?1y=sin?x??的图象，最后将y=sin?x??的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不
4?4??2?2???1变），就得到y=3sin?x??的图象.
4??2方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=siny=sin
1?x图象上所有的点向右平移个单位， 221??x???x??(x-)=sin???的图象，最后将y=sin???的图象上所有点的纵坐标伸长到原来22?24??24?1x的图象；再把2得到y=sin
???1的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin?x??的图象.
4??2（3）周期T=
2??=
?2?=4?，振幅A=3，初相是-. 142(4)令
1??x?=+k?(k∈Z), 242得x=2k?+令
3?(k∈Z),此为对称轴方程. 21??x-=k? (k∈Z)得x=+2k?(k∈Z). 242???对称中心为?2k??,0?(k∈Z).
2??2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜ 式为 . ?,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达 2????答案 y=-4sin?x?? 4??83.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x (其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=1时,f(x)取得最大值2. 3（1）函数f(x)的表达式；
?2123?（2）在闭区间?,?上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.
?44?解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A2?B2sin(?x??) 由T=
2??=2知?=?，
又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（?x+?）.
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由x=
1???时f（x）max=2，得sin????=1， 3?3?????.∴f（x）=2sin??x??. 66????=k?+（k∈Z）得对称轴方程为
26∴?=
（2）令?x+x=k+即
112321，由对称轴满足≤k+≤（k∈Z）
44335965≤k≤且k∈Z，∴k=5. 1212?2123?故在?,?上f（x）只有一条对称轴.
?44?x=5+
11616=，即对称轴方程为x=. 333
一、填空题
1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .
???答案 y=cos?2x?? 6?????2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos?2x??的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平
3??移 个单位长度. 答案 左 5? 12????2
3.（20082湖南理，6）函数f(x)=sinx+3sinxcosx在区间?,?上的最大值是 .
?42?答案
3 24.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 . 答案 f′(0)=0
???15.函数y=3sin?x??的周期、振幅依次是 3??2答案 4?、3
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