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???答案 y=sin?x??
3??3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 . 答案 5
4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）.
?3?答案 ??,2??? ?5.（20082全国Ⅱ理）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 . 答案 2
例1 求下列函数的定义域：
（1）y=lgsin(cosx);(2)y=sinx?cosx.
解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-??+2k?＜x＜+2k?,k∈Z}. 22方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为
?????x|??2k??x??2k?,k???. 22??（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.
在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为
?5?，，再结合正弦、余弦函数的周期是2?, 445????所以定义域为?x|?2k??x??2k?,k???.
4?4?方法二 利用三角函数线， 如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则
?5?≤x≤（在［0，2?］内）. 443eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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∴定义域为
5?????2k?,k?Ζ? ?x|?2k??x?4?4????方法三 sinx-cosx=2sin?x??≥0，
4??将x-
?视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 4?≤?+2k?, 4可知2k?≤x-解得2k?+
?5?≤x≤+2k?,k∈Z. 44?5???所以定义域为?x|2kx??x??2k?,k?Ζ?.
44??例2 求下列函数的值域： （1）y=
sin2xsinx;
1?cosx(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
???(3)y=2cos????+2cosx. ?3?2sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)解 （1）y== 1?cosx1?cosx1?1?=2cosx+2cosx=2?cos??-. 2?2?2
2于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且ymin=-11,当且仅当cosx=-时取得. 22?1?故函数值域为??,4?. ?2?（2）令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,
2t2?1即sinxcosx=. 2有y=f(t)=t+t2?11=(t?1)2?1. 22???又t=sinx+cosx=2sin?x??，
4??∴-2≤t≤2. 故y=f(t)=
1(t?1)2?1(-2≤t≤2), 21. 2从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+
1??即函数的值域为??1,2??.
2?????（3）y=2cos??x?+2cosx
?3?3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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=2cos
??cosx-2sinsinx+2cosx 33=3cosx-3sinx
?3?1=23?cosx?sinx?
?2?2?????=23cos?x??.
6?????∵cos?x??≤1
6??∴该函数值域为［-23，23］.
???例3 （14分）求函数y=2sin??x?的单调区间.
?4????解 方法一 y=2sin??x?化成
?4????y=-2sin?x??.
4?? 1分
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
?????2k??2,2k??2?（k∈Z), ???3????2k??2,2k??2? (k∈Z), ??
4分
???∴函数y=-2sin?x??的递增、递减区间分别由下面的不等式确定
4??2k?+??3?≤x-≤2k?+（k∈Z), 2423?7?≤x≤2k?+（k∈Z), 44即2k?+2k?- 8分
???≤x-≤2k?+（k∈Z), 242?3?≤x≤2k?+（k∈Z). 44
12
即2k?-分
?3??????∴函数y=2sin??x?的单调递减区间、单调递增区间分别为?2k??,2k??（k∈Z),
44????4?3?7???2k??,2k????（k∈Z). 44??分
14
????方法二 y=2sin??x?可看作是由y=2sinu与u=?x复合而成的.
4?4? 2分
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又∵u=
?4?x为减函数，
∴由2k?--2k?-
??≤u≤2k?+（k∈Z), 22?3?≤x≤-2k?+ (k∈Z). 44?3??????即??2k??,?2k??（k∈Z）为y=2sin??x?的递减区间. ?44??4??由2k?+即2k?+-2k?-
?3?≤u≤2k?+ (k∈Z), 22??3?≤-x≤2k?+ (k∈Z)得 2425??≤x≤-2k?- (k∈Z), 445???????即??2k??,?2k???（k∈Z)为y=2sin??x?的递增区间.
44??4??分
12
???综上可知：y=2sin??x?的递增区间为 ?4?5????； ??2k??4,?2k??4?（k∈Z）???3???递减区间为??2k??,?2k??（k∈Z）. 44???分
1.求f(x)=1?2cos( 14
?2?x)的定义域和值域.
2???解 由函数1-2cos??x?≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义
2?2?域是
5?????x?2k??,k?Z ?x|2k???. 44??2???当sinx=cos??x?=时，ymin=0;
?2?2???当sinx=cos??x?=-1时，ymax=1?2.
?2?所以函数的值域为［0，1?2］.
2cos4x?3cos2x?12.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.
cos2x3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+解得x≠
k???（k∈Z）. 24?， 2所以f(x）的定义域为
k?????,k?Z ? . ?xx?R ,且 x ? 24??2cos4x?3cos2x?1(2cos2x?1)cos2x?1又f（x)= =
cos2xcos2x=cosx-1=-sinx.
又定义域关于原点对称，∴f（x）是偶函数. 显然-sinx∈［-1，0］，但∵x≠∴-sinx≠-2
2
2
2
k???,k∈Z. 241. 2所以原函数的值域为
11???y|?1?y??或??y?0?.
22?????3.（1）求函数y=sin??2x?的单调递减区间； ?3???x?（2）求y=3tan???的周期及单调区间. ?64????解 （1）方法一 令u=??2x?,y=sinu，利用复合函数单调性， ?3?由2k?-2k?--k?-???≤-2x+≤2k?+(k∈Z),得 2235??≤-2x≤2k?+（k∈Z), 66?5?≤x≤-k?+ (k∈Z),
1212?5?≤x≤k?+（k∈Z).
1212即k?-∴原函数的单调递减区间为 ?5????k??12,k??12? (k∈Z). ????????方法二 由已知函数y=-sin?2x??,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin?2x??的单调递增区
3?3???间. 由2k?-
???≤2x-≤2k?+（k∈Z), 223解得k?-
?5?≤x≤k?+（k∈Z).
1212?5???∴原函数的单调递减区间为?k??,k??（k∈Z）.
1212???3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！