第一章 复数与复变函数
一、
基本要求及重点、难点
1. 基本要求
（1） 理解复数及其代数运算（包括运算法则，运算规律，共轭复数运算法则）。 （2） 了解复数与向量的关系。
（3） 了解复球面，理解无穷远点的概念。
（4） 会求辐角，正确理解辐角的多值性，熟悉两个复数的乘积和商的辐角公式。 （5） 熟练掌握复数的各种表示法的互相转换。 （6） 熟练掌握复数的乘幂与方根的计算。 （7） 了解区域的概念 （8） 理解复变函数的定义
（9） 深刻理解复变函数的极限与连续的概念 2. 难点及重点
（1） 重点：复数的概念及其代数运算，复数的各种表示法的互相转换，复数的乘
幂与方根的计算。 （2） 难点：复变函数的极限与连续的概念
二、 内容概述
1. 复数及代数运算
（1） 复数的定义：z?x?iy称为复数，其中x,y为实数，i为虚数单位，实部记
为x?Re(z)、虚部记为y?Im(z)；z?x?iy称为x?iy的共轭复数。 （2） 运算法则：设z1?x1?iy1,z2?x2?iy3，则：
1) 加减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 2) 乘法：z1?z2?(x1x2?y1y2)?i(x2y1?x1y2) 3) 除法：
z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x2y1?x1y2)x?y22。
（3） 运算规律：
1) 交换律：z1?z2?z2?z1，z1z2?z2z1；
2) 结合律：z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3，z1(z2z3)?(z1z2)z3； 3) 分配律：z1(z2?z3)?z1z2?z1z3，(z1?z2)z3?z1z3?z2z3。 （4） 共轭复数运算法则：
1) z?z；
2) z1?z2?z1?z2； 3) z1z2?z1?z2；
1
4) (z1z2)?z1z2；
5) z?z?2x?2Re(z)； 6) z?z?2y?2Im(z)；
7) z?z?x2?y2?Re(z)?Im(z)。 （5） 复数的模的性质
1) |z|?|z|； 2) zz?|z|2
3) |z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?2Re(z1z2) 4) |z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?2Re(z1z2) 2. 辐角的计算： y?arctan?x??argz????arctan?????arctan??yxyx?任意?0??x?0,y?0；argz?????2?x?0,y?0????2x?0z?0?x?0? z??x，其中：??y?0??。
??z?iyz?xz??iy3. 复数的各种表示法的互相转换： 设复数z?x?iy，r?|z|?x?y，??argz，
22三角形式：z?r?cos??isin?? 指数形式：z?re欧拉公式：ei?i?
?cos??isin?
4. 复数的乘幂与方根的计算。
z1?r1(cos?1?isin?1)?r1ei?1，?1?argz1 ，?2?argz2
i(?1??2)z2?r2(cos?2?isin?2)?r2ei?2（1） 乘法：z1z2?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)]?r1r2earg(z1z2)?argz1?argz2
2
（2） 商：
z1z2?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)]?r1r2ei(?1??2)
argz1z2?argz1?argz2
（3） 乘幂：zn?zz?z?rn(cosn??isinn?)?rnein? （4） 方根：nz?n2k???2k?????r?cos?isin?，k?0,1,?,n?1。
nn??方根的n个点就是以原点为圆心，以nr为半径的正n边形的n个顶点，其中一个顶点的角度为：
?n。
5. 复球面：用球面上的点表示复数。为此引入无穷远点和扩充复平面，无穷远点与无穷大?相对应，注意无穷大是指模为无穷大的唯一的一个复数。
6. 复变函数的极限与连续
复变函数w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)有极限或连续等价于它的实部u(x,y)和虚部
v(x,y)同时有极限或连续，即：
?limu(x,y)?u0x?x0??y?y0（1） 复变函数的极限：limf(z)?A??
z?z0v(x,y)?v0?xlim?x0??y?y0?limu(x,y)?u(x0,y0)x?x0??y?y0（2） 复变函数的连续性：limf(z)?f(z0)??
z?z0v(x,y)?v(x0,y0)?xlim?x0??y?y0 3
（3） 函数极限、连续的性质：设limf(z)?A、limg(z)?B，
z?z0z?z01) lim[f(z)?g(z)]?A?B z?z02) limf(z)g(z)?AB z?z03) limf(z)/g(z)?A/B
z?z0
三、 典型例题分析
例1：将复数??1?i?91?i?化为x?iy的形式
??29解：
1?i1?i?(1?i)2??i，所以??1?i???(?i)9?(?i)8(?i)??i。 ?1?i?例2：当x,y等于什么实数时，等式
x?1?i(y?3)5?3i?1?i成立？
解：
[x?1?i(y?3)](5?3i)x?3y?4)?i(?3x?5y?18)(5?3i)(5?3i)?(534?1?i故：5x?3y?434?1，
?3x?5y?1834?i??x?1??11。
?y例3：将下列函数化为三角形式和指数形式
1. z?1?cos??isin? 解：z?1?cos??isin?
?2sin2??2isin??22cos2
?2sin2???2?sin?icos???22? ?三角形式：z?2sin2?????????2?cos?2?isin2? ????指数形式：z?2sin2?22e
52. z??cos5??isin5??(cos3??isin3?)3
解：
?cos5??isin5??5cos25??isin25?(cos3??isin3?)3?cos(?9?)?isin(?9?)?cos34??isin34? 4
三角形式：z?cos34??isin34? 指数形式：z?ei34?
例4：已知x2?x?1?0，求x11?x7?x3的值。
解：由已知，因为x3?1?(x?1)(x2?x?1)?0，所以x3?1 故：x11?x7?x3?x9x2?x6x?x3?x2?x?1?0
例5：设f(z)?x2?y2?2y?i(2x?2xy)，写出f(z)关于z的表达式。
解：f(z)?(x2?y2?i2xy)?(?2y?i2x)?(x?iy)2?i2(x?iy)?z2?2iz 例6：描出下列不等式所确定的区域，并指明有界或无界，单连通或多连通。
1. Re(z2)?1
解：设z?x?iy，Re(z2)?x2?y2， 从而Re(z2)?1?x2?y2?1，无界的单连通域 （如图）
2. |z?3|?|z?1|?4
解：因为|z?3|?|z?1|?4表示到-1，-3的距离之和为定值的点的轨迹，因此是椭圆。该椭圆以z??1,z??3为焦点，长轴为2，短轴为连通域（如图） 例7：函数w?的曲线？
1. 2.
x?yy?x
222?[?1?(?3)]22?3。有界的单
1z把下列z平面上的曲线映射成w平面上怎样
?4；
解：将w?u?iv,z?x?iy代入w?1z?u?iv?xx?yvu222?iyx?y22
?u?xx?y22,v?yx?y22?x?uu2?v2,y???v2将此
22代入方程x?y?4得：u?v?2214；
5