代入方程y?x得：u??v。 例8：若|?|?1,|?|?1,证明
???1?????1
证明：
???1????|???||?||1???|zz??????????????|?|?2????????1
例9：证明函数f(z)?在z?0时极限不存在。
zzx?iyx?iyx?yx?y2222证明：设z?x?iy，则f(z)?????2xyx?y22，
因此u(x,y)?x?yx?y2222，v(x,y)??2xyx?y22
只需要证明u(x,y),v(x,y)中只要有一个在(x,y)?(0,0)时极限不存在，结论就成立，
2xyx?y2xyx?y2222因为 limv(x,y)?limx?yx?0x?yx?0?lim2x2x22x?yx?0?1,
limv(x,y)?limx??yx?0x?yx?0?lim?2x2x22x?yx?0??1
zz所以：v(x,y)在(x,y)?(0,0)时极限不存在，故f(z)?在z?0时极限不存在。
例10：证明：f(z)在点z0处连续的充分必要条件为f(z)也在点z0处连续。
证明：设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在z0?(x0,y0)处连续 ?u(x0,y0),v(x0,y0)在(x0,y0)处连续 ?u(x0,y0),?v(x0,y0)在(x0,y0)处连续
?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在z0?(x0,y0)处连续。
四、 自测题A及答案
自测题A
一、选择题（每题3分，共12分）
1. 设复数z??21?3i，则argz?__________。
6
(A)?2?3， (B)2?3， (C)??3， (D)
?3
2. 设z?x?iy，则Im(iz)?___________。
(A) Re(z)， (B) Re(?z)， (C) Im(z)， (D) Im(?z)
3. 下列哪个点集是有界区域
(A)|2z?3|?4， (B)Im(z)?2， (C)|z?3|?|z|， (D) |z?1?2i|?e
4. 下列哪个命题为真
(A)复数有大小， (B)零的辐角是零，
(C)1iz?iz， (D) 若z为纯虚数，则z?z。
二、填空题（每空3分，共18分）
1. 设复数z?i?2?2i，则z?_________。
2. 设复数z?(3?i)6，则argz?__________。
3. 用z,z表示z?x?iy的实部Re(z)?_______，虚部Im(z)?_______。 4.
z?3?i的三角形式为__________，指数形式为__________。
三、计算题（每题10分，共50分）
1. 求复数
(1?2i)(2?i)i?i87的实部、虚部、共轭复数、模与辐角
2. 计算5?1?i
3. 解方程z?z?z?1?0
4. 画出方程0?|z?3|?|z?1|?6确定的区域，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
225. z平面上曲线(x?1)?y?1在w?321z映射下求w平面上的曲线方程。
四、证明题（20分）
1. 设|z|?1，证明
az?bbz?a?1
2. 证明：如果f(z)在z0处连续，则|f(z)|也在z0处连续。 自测题A解答 一、选择题
7
(B)(A)(D)(C)
二、填空题 １、?14(1?i)， ２、?， ３、Re(z)?z?z2，Im(z)??z?z2i，
i????6４、三角形式：z?2?cos?isin?，指数形式：z?2e
66??三、计算题
1. 解：
(1?2i)(2?i)i?i87?4?3i1?i?(4?3i)(1?i)212?7?i2，
522故，实部Re(z)?辐角argz?arctan72、虚部Im(z)?17、共轭复数z?7?i2、模|z|?，
。
3?3???2k??2k????44?，其中k?0,1,2,3,4 2?cos?isin55??????2. 解：5?1?i?103. 解：z5?2z3?z2?2?(z3?1)(z2?2)?0，所以
z?1?0，解出z?z?2?0，解出z?2331?cos2k?3?isin2k?3，其中k?0,1,2
?2??2i
4. 解：
有界多连通区域
x?u?u?x?22?22?x?y??u?v????代入yv?v???y??2222??x?yu?v??12,v任意，所以在w平面上是一条直
5. 解：w?u?iv?1x?iy?x?iyx?y22曲线方程中，得
1u2?v2?2uu2?v2?0?u? 8
线u?12。
四、证明题
1. 证明：
az?b|az?b||az?b|?b|bz?a?|z||b?az|??|az|b?az||az?b|?1
2. 证明：设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则|f(z)|?u2(x,y)?v2(x,y)
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在z0?(x0,y0)处连续 ?u(x0,y0),v(x0,y0)在(x0,y0)处连续 ?u2(x0,y0),v2(x0,y0)在(x0,y0)处连续
?|f(z)|?u2(x,y)?v2(x,y)在z0?(x0,y0)处连续。
五、 自测题B及答案
自测题B
一、单项选择题（每题3分，共12分）
1. 下列那个命题为真（ ）
(A)1iz??i1z， (B)argz在负实轴上是不连续的，
2 (C)z1?z2?z1?z2， (D)|z|?0z当z时极限不存在。
2. 设argz??，则arg(iz)?___________。
(A)
??2?2， (B)
?， (C) ???2， (D) ???2
3. 下列哪个点集是多连通区域
(A)0?|2z?5|?3， (B)Re(z)?2， (C)0?argz??6， (D)|z?1?3i|?|1?i|。
4. 下列哪个轨迹不表示直线
(A)Im(z?iz)?2， (B)|z?2i|?|z?i|，
(C)|z?2i|?|z?i|?4， (D)Re(1?z)?2。
二、填空题（每空3分，共18分）
11. 设复数ez的三角形式为_________，指数形式为_________。
9
2. 当?i1y?1?i(x?2)2?i?1?i成立时，x?______,y?_______。
3. 用i，或?i表示i4n?3为i4n?3?______。 4. 当|z|?1时，|z?1|的最大值为__________三、计算题（每题10分，共50分）
1. 求复数(2z?5)(2?z)的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。 2. 若(1?i)n?(1?i)n，试求n的值 3. 设(z?1)5?i?1，求z。 4. 画出方程
z?3z?1?1确定的区域，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
。
5. 将方程z?aeit?be?it（t为实参数）用一个实数方程表示。 四、证明题（每题10分，共20分）
1. 试用恒等式1?z?z???z?2n1?zn?11?z，证明
1?cos??cos2????cosn??12?1??sin?(n?)??2??2sin(?/2)
2. 求函数g(z)?yx?i1?y(z?x?iy)的定义域，并证明当x?0,|y|?1时，
????xtg(z)?f(z)，这里f(z)?y?e0dt?i?y。
n?0n自测题B解答
一、选择题
(B)，(D)，(A)，(C)
二、填空题
1. 三角形式：Exp(?yy)cos()?isin(22?2222x?y?x?yx?yxxx?y22?y)?Exp(?i2)2，
x?y?指数形式： Exp()Exp(?yix?y22)
2.
x?3,y?1； 3. ?i； 4. 2。
10
三、计算题
1. 解：