1z)?Lnz1?Lnz2 （D）Lnz2?2Lnz
23. 对于函数f(z)?(x2?y2?x)?i(2xy?y2)，下列那个结论正确？
（A）仅在直线y?12上可导 （B）仅在直线y?12上可解析（C）在直线y?12上即可导也解析 （D）除直线y?12外处处解析4. 当a为何值时，幂函数z?a是单值函数
（A）a为正整数（B）a为负整数（C）a为正分数（D）a为负分数
二、填空题：（每空3分，共18分）
sin11.
zcosz的奇点为 。
2.
f?z??zRe?z?在 处可导。
3. ii?___________，ln?ii??____________。 4. ch?i4?_______，用三角函数表示为 。
三、计算题：（每题10分，共50分）
1.
sin?iln(i)?
2. 求sin(1?2i)的实部与虚部。 3. 求方程ez?1?i3?0的所有解。
4. 求出常数a,b,c使函数f(z)?cosx(chy?ashy)?isinx(chy?bshy)解析 5. 设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，并且v?u2，求f(z)。 四、证明题：（每题10分，共20分）
1. 设f?z??z1?z2，试证：Re?zf??z????f?z???0，?z?1?
?2. 如果f(z)是z的解析函数，试证明f(z)是z的解析函数。
21
自测题A解答 一、单项选择题：
（A）、（D）、（A）、（B） 二、填空题：
1. 2. 3.
z?0,z?k???2,k?0,?1,?2?
z?0
e?(?2?2k?),?(?2?2k?)
4. ?22,?22(cos??isin?)
三、计算题：
1. 2. 3. 4.
sin?iln(i)??sin(i??2i)?sin(??2)??1
sin(1?2i)?sin1?ch(2i)?icos1?sh(2i) ez?1?3i,z?ln(1?3i)?ln2??3i?2k?i
f(z)?cosx(chy?ashy)?isinx(chy?bshy)?u?iv， ?u?x?u?x??sinx(chy?ashy)，
?u?y?cosx(shy?achy)
?cosx(chy?bshy)，
?v?y?sinx(shy?achy)
22由C?R条件容易得出：(a?1)?(b?1)，从而a??(b?1)?1。
5. f(z)?u?iu2?u??u??u?2u??x??x?0?y??，由C?R条件有????u?c，所以
?u?u?u?2u??0?????x?y??y?f(z)?c?ic。
2四、证明题：
1. 证明：f?(z)?1?z222(1?z)，zf??z?f?z??1?z1?z22，所以：
22?f??z??1?z1?z2?2|z|2Re?z????0 ?2221?z|1?z|?f?z??1?z 22
2. 证明：设f(z)?u?iv,f(z)?u?iu,z?x?iy?s?it，因为f(z)是z的
?v??u?(?v)??u????x??y???s?t解析函数，所以?，从而f(z)是z的解析函数。 ???v?u?(?v)?u?????????y?t??s??x
五、 自测题B及答案
自测题B
一、单项选择题：（每题3分，共12分）
1. 在复平面上解析的函数为（ ）
（A）f(z)?x3?y3?2x2y2i （B）f(z)?excosy?iexsiny （C）f(z)?x2?y2?2xyi （D）f(z)?sinxchy?icosxshy 2. 下列那个等式不成立
（A）Lnz?12Lnz （B）chz?shz?1
22（C）(z?)???z??1
（D）sin2z?cosz?1
23. 在什么条件下，(ab)c?abc是正确的？（B）
（A）只需b为整数（B）只需c为整数（C）b,c均为整数（D）没有限制 4. 下列那个结论不正确
（A）f(z)?e是周期函数
（B）f(z)?sinz是有界的周期函数 （C）f(z)?cosz是无界的周期函数 （D）f(z)?Lnz是多值函数
二、填空题（每空3分，共18分）
z1.
?1?i?arg???__________?2??1?i?，???2?1?i?_______________。
2. 当m?______时，复变函数f?z??y?3xy?i?x?mxy3232?解析，此时
f??1?i?? 。
23
3.
1sin1z的奇点为 。
4. i(1?i)的辐角主值为 。
三、计算题（每题10 分，共50分）
1.
Ln[(?1)??2]
2. 求cos???i? ?3?3. 求tanz的实部与虚部 4. 求方程sinz?cosz?2的解
5. 方程z4?8z?10?0在圆z?1与在圆环1 1. 设f(z)?z1?z，试证明当|z|?1时Re?1???zf??(z)???0 ?f(z)?2. 已知u?v??x?y??x2?4xy?y2??2?x?y?，试确定解析函数f?z??u?iv。 自测题B解答 一、单项选择题： （D）、（A）、（B）、（C） 二、填空题 1. ??4?,e4?2k??i(?4?2k?)。 2. ?3,?6xy?3(x2?y2)i 3. 4. z?0,12lnz z?1k?,k??1,?2? 三、计算题（每题10 分，共50分） 1. Ln[(?1)2]?Lne?2ln(?1)??Ln?e2(2k?1)i?，又e22(2k?1)i?1， arge?2(2k?1)i??2(2k?1)i，所以：Ln[(?1)]?2?(2m?1)i?2k?i。 22. ?????cos??i??coschi?isinshi?333??14(chi)?34(shi)2 24 ?121?4shi?212e2i?e?2i?1 3. tanz?sinzcosz?sin(x?iy)coa(x?iy)?sinxcosx?ishxchxcos2x?shy2，实部与虚部显然可 得。 4. sinz?cosz?????2sinz?cos?cosz?sin????2sin?z???2，所以 ??44???4?z??iL?in2?i???4??iln1?(2)?3?4i?2k?，k?Z 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：f?(z)?1?3z(1?z)2,f?(z)??2??(z)(1?z)3，1?zff?(z)?11?z， 2Re??1?zf??(z)?1?3z1?3z2?8Re(z)?6|z|2?f?(z)???z?|1?z|，所以当|z|?1时 ?1?z1?2Re??1?zf??(z)??f?(z)??0。 ?2. 证明：f?z??u?iv是解析函数，满足C-R条件，即有： ??u????x??v?x?3x2?6xy?3y2?2， ??u???v?y?3x2?6xy?3y2?2??y??v????y??u?x?3x2?3y2?2??u?x3?3xy2?2x??u?v????v?3x2y?y3。 ?2y?????6xy??y?x 第三章 复变函数积分 一、 基本要求及重点难点 1. 基本要求 （1） 掌握积分的计算方法； （2） 掌握柯西积分定理及其推广； （3） 掌握柯西积分公式及高阶导数公式。 2. 重点难点 （1） 重点：柯西积分定理及柯西积分公式； （2） 难点：多连通区域的柯西积分公式。 25 二、 内容概述 1. 积分的概念和性质 （1） 积分定义（见教材） （2） 积分性质 1) 2) 3) ?cf(z)dz???c?f(z)dz f(z)dz ??kf(z)dzcc?k?c?(f(z)?g(z))dz?cf(z)dz??g(z)dzc 4) 设曲线C的长度为L，函数f(z)满足f(z)?