iv)(dx?idy)??udx?vdy?i?vdx?udy
CCCc所以：Re????f(z)dz????udx?vdy
C?C而：
?Re?f(z)?dz??u(dx?idy)??udx?iudy
CCC所以它们一般不相等，如果?vdy?iudy?0它们才相等。
C例14． 已知解析函数f(z)?u?iv的虚部v?4xy，求满足f(0)?1的解析函数。解： ??u??v?x?y?4x
?u??4xdx?2x2?g(y)
由
?v得：?x???u?yg?(y)??4y,
所以 g(y)??2y2?c 所以 ：u?2x2?2y?c，
f(z)?2x2?2y2?c?4xyi， 由f(0)?1，得c?1。
?f(z)?2x2?2y2?1?4xyi。
例15． 设f(z)在z?1内解析,在z?1上连续, f(z)?u?iv，证明
u(0,0)?12?2??u(cos?,sin?)d?
0证明：(这里设单位圆方程为z?ei?)
31
f(0)?1f(z)2?2?i?ei?)d?
z?1zdz?
12?i?if(012?12??2??u(cos?,sin?)d?+2?i?v(cos?,sin?)d?
00 但f(0)?u(0,0)?iv(0,0),所以
)?12?u(0,02??u(cos?,sin?)d?.
0例16. 计算
?z?1dz
z?1解： 圆z?1的方程是z?ei??cos??isin?，0???2?(正向).
dz?iei?d??d?，z?1?(cos??1)2?sin2??2sin?2
2??|z?1|dz=2?sin?8.
z?102d??四、 测题A及解答
自测题A
一、单项选择题：
1.
?1ndz?2?i 并且闭曲线 C含a，则n?____.
C(z?a)（A） 1 （B）-1 （C）2 （D） -2 2.
?z3coszdz?______ 其中C为闭曲线。
C（A） 1 （B）-1 （C）不存在 （D） 0 ?z3.
?ez?22z?idz?_______
（A） ?i （B）??i （C）? （D） ?? 4.
?(x2?y2)dz?_____,其中C为连接0到i的直线段。
C（A）
i3 （B）?i3 （C）
13 （D） ?13
5. 设u?x2?ky2?xy为调和函数，则k?____. （A） 1 （B）-1 （C）2 （D） -2 二、填空题
32
1.
C?z?2dzsinz?_______C:.椭圆x?2y24?1。
2. 设f(z)在单连通区域D内处处解析，且不为零，C是D内简单闭曲线，则
f?(z)f(z)?Cdz?______。
3. 设C为单位圆，方向为正向，?zdz?_____。
C4.
C?zez5dz?______，其中C：z(t)?cost?i2sint, 0?t?2?
5. f(z)在以简单闭曲线C极其内部解析，且在C上有f(z)?5，则在C内部f(z)=___。
三、计算题 1. 求积分
?z?1cosedzzsinzz?122z
2. 求积分
?z?2dz
3. f(z)??t?23t?7t?1t?zz2dt。求f(z)及f?(1?i)
4. 求积分
?z?1e?zz(z?3)dz
5. 是否存在满足Re?f(z)??sin(x?y) 的解析的函数f(z). 答案
一、单项选择题
1 A， 2 D，3 C，4 B， 5 B 二、填空题
?i 1. 0 ，2. 0， 3.2?i，4.，5. 5
12三、计算题
1. 解：
?z?1cosedzzz=2?icosezz?0?2?icos1
2.
?z?2sinzz?12dz=
33
12(??z?2sinzz?1dz???z?2sinzz?1dz)?12(2?isin1?2?isin(?1))?2?isin1
3. f(z)??t?23t?7t?1t?z22dt=2?i(3z?7z?1)
f?(z)?2?i(6z?7)f?(1?i)?2?i(13?6i)
z24.
?z?1e?zz2z(z?3)dz.=2?i(e?zz?3)z?0??2?i13。
5. 直接验证Re?f(z)??sin(x?y)不满足方程uxx?uyy?0即可 设u?sin(x?y)，则uxx?uyy??2sin(x?y)不能在某区域中为零
只能在直线x?y?n?(n整数)上为零，所以不存在满足Re?f(z)??sin(x?y) 的解析的函数f(z).因为如果f(z)?u?iv为区域D内的解析函数函数,则u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数,而解析的函数只能在区域中考虑。
五、 自测题B及解答
自测题B
一、单项选择题
1.
?z?1zcos1zdz? 提示z?1,z?1z.
（A） 2?i （B）?i （C）?2?i （D）
dzcosz1
2.
?z?1?
（A） 1 （B）-1 （C）0 （D） 3. 设u?epx2?
cosy为调和函数，则p?
?（A） 1 （B）-1 （C）0 （D） 4.
?(z?z)cosz?12zdz?
（A）2?i （B）?i （C）?2?i （D）0
34
5.
?z?1ezzndz.?2?i9! n为正整数，则n?
（A） 8 （B）9 （C）10 （D） 二、填空题
1.
11
?Rezdzz?1?____
2.
?z?dz32z(z?1)?______
3. 已知u调和函数，f??u?x?i?u?y 则f为_____函数（解析或不解析）。
4.
?z?3?2lnzdz(z?2)2?______。
5.
?Ccos(3?1z?3)dz?______,C是以0,1,1?i,i为顶点的正方形。
三、计算题
1. 求
z?zdz(2z?1)(z?2)?1sin22dz
2. 求
?z?2zdzz(z?1)
3. 已知F(z)??t?1eit3(t?z)?cos?dt 求F(z),F?(z。
4. 求
?z?1ezzdz并证?e0cossin?d???
225. 求k使u?x?ky调和函数，再求v使f(z)?u?iv为解析函数，满足
f(i)??1.
答案
一、单项选择题
1 A, 2 C, 3 D , 4 A, 5 C 二、填空题
1. ?i ,2. 0, 3.解析, 4. ?i,5. 0 三、计算题
35
z1. 解：
?z?1zdz(2z?1)(z?2)dz=
12??z?1z?2(z?dz12dz?)122?izz?2z??12??i5
2. 解：设c1 c2 为分别包含0，1的正向闭曲线，则
?z?2sinzdzz(z?1)22?c1?zsinzdz22(z?1)2+?c2sin22zdzz