求复数(2z?5)(2?z)的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。
(2z?5)(2?z)?(5?2x?2iy)(2?x?iy)
2. 解：
???n?n????(1?i)?22?cos?isin?isin??22?cos?4444????n?n????n?n????n?(1?i)?22?cos?isin?isin??22?cos?
4444????所以sinn?4?sin(?n?4)：从而sinn?4?0，n?4k?n?(k?N)
3. 解：z?5i?1?1?103?/4?2k?3?/4?2k???2?cos?sin? k?0,1,2,3,4
55??4. 解：由
z?3z?12?1得：
(x?3)?y2?(x?1)?y，
22从而x?1
andz??1，是无界的多连通域。
5. 解：由z?aeit?be?it?x?iy?a(cost?isint)?b(cost?isint)，故
2?x?(a?b)costxy???1 ?22(a?b)(a?b)?y?(a?b)sint四、证明题
1. 证明：
1) 设
S?1?z?z???z2n，则
n?1(1?z)S?S?zS?1?zn?1，从而
S?1?z?z???z2n?1?z1?z
2) 设
1?c?z?cos??isin?，代入1?z?z???z2n?1?zn?11?zni?)n中得
?o?sco2??s??con??si(1?s?i?ns2i?n???s1?con?s1)?(?is1?cin?n1)?(?o?sis?in， ?1?cos(n?1)??isin(n?1)?1?cos??isin?的实部为
11
?[1?cos(n?1)?][1?cos?]?sin??sin(n?1)?(1?cos?)2?sin2??1?cos??cos(n?1)??cos(n?1)??cos??sin(n?1)??sin?4sin2?22sin2?1)??cosn??2?cos(n?
4sin2?22sin2??2sin?1sin??(n?1)??22?sin(n?2)??1?2???
4sin2?2?2sin(?/2)2sin??(n?1?所以1?cos??cos2????cosn??1?2)???2?2sin(?/2)。
2. 答案
1) 解：g(z)的定义域为{z?x?iy|x?0,y?1,x,y?R}
2) 证明：当x?0,|y|?1时，有：
???f(z)?y?e?xtdt?i?yn?y(?1xt??10?i0n?0x)e?1?y?yx?i1?y
故g(z)?f(z)
第二章
解析函数
一、
基本要求及重点、难点
1. 基本要求
（1） 掌握复变函数的导数概念和求导法则。
（2） 理解解析函数的概念，熟练掌握和应用解析函数的充分必要条件。 （3） 正确理解复变函数的导数与解析函数的联系与区别。 （4） 熟练掌握复变量初等函数的定义。 （5） 熟悉初等函数的解析性和主要性质。
2. 难点与重点
（1） 重点：解析函数的概念和判别法，初等函数的计算。
（2） 难点：复变量初等函数与实变量初等函数的定义与性质的的异同点。二、 内容概述
1. 复变函数的导数定义与解析函数的定义
（1） 导数的定义：设w?f(z)在D上有定义，z0?D,z0??z?D。若
12
?z?0limf(z0??z)?f(z0)?zdwdzz?z0存在，则称f(z)在z0处可导。记为f(z0??z)?f(z0)?zf?(z0)??lim。
?z?0（2） 解析函数的定义 1) 2)
定义1：若f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0处解析。 定义2：若f(z)在D内处处解析，则称f(z)是D内的解析函数（或称
全纯函数、正则函数）。 3)
定义3：若f(z)在z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点（初等函数不在
定义域中的点是奇点）。 （3） 关于定义的两个注：
注1： 复变函数的导数定义形式上与实变函数一样，实变函数定义中只是在x 轴上取?x?0，但在复变函数定义中要在整个平面上取?z?0，所以复变函数在一点可导的定义要比实变函数严得多。
注2： 在一个区域内解析与可导是等价的，但在一点的解析比可导要复杂得多，即：
解析?可导， f(z)在z0处 可导??解析。 f(z)在D内
解析?可导， （4） 定理：解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的 2. 复变函数w?f(z)的可导与解析性
（1） 当复变函数表达成w?f(z)形式的时候，求导法则与一元实变函数一样，其
导数的运算法则也和实变函数一样。
（2） 与一元函数一样w?f(z)在点z0的微分dw?f?(z0)dz，因此可导与可微是
等价的
（3） 与一元函数一样可导必定连续，连续不一定可导。。 3. 复变函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的可导与解析性
?u?x?v?y（1） 柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件：如果函数u(x,y),v(x,y)满足?，
?u?y???v?x，则称他们满足Cauchy-Riemann条件，简称C?R条件。
（2） 定理1：如果复变函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的u(x,y),v(x,y)的一阶偏
13
导数在点z0?D存在，连续并且满足C?R条件，则f(z)在点z0可导，并且
f?(z)??u?x?i?v?x，or,f?(z)??v?y?i?u?y
（3） 定理2：设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点
z0?(x0,y0)处可导的充要条件是u(x,y),v(x,y)在(x0,y0)处可微，且满足C?R条件。
（4） 定理3：设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内解析
的充要条件是u(x,y),v(x,y)在D内可微，且满足C?R条件。
4. 复变初等函数
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的推广，因此他们保留了一些后者的基本性质。由于他们的定义都基于指数函数ez，因此复变初等函数是无界的；由于辐角的多值性，因此对数函数是多值函数。
（1） 指数函数
1) 2)
函数形式：w?ez?ex?iy?ex?cosy?isiny?，???y?? ； 性质：
a) 是解析函数，(ez)??ez b) eec) ez1z2?ez1?z2；
2k?iz1?2k?i?ez1?e?e(cos2k??isin2k?)?e
zz是一个周期函数，周期为2ik?，最小周期为2i? （2） 对数函数
1) 2)
定义：满足z?e的函数w?f(z)称为对数函数。 函数形式：w?Lnz?ln|z|?i(arg?2k?)
?ln|z|?iArgz ?lnz?i2k?
w?lnz ?ln|z|?iargz，称为对数函数的主值。
w3) 性质：
a) 对数函数Lnz是一个多值函数（无穷多个值），除了原点及负实轴外
处处解析，(Lnz)??1z
14
b)
Lnz1z2?Lnz1?Lnz2
z1z2?Lnz1?Lnz2
1nc) Ln注意：Lnz（3） 幂函数
1)
nn?nLnz，Lnz?Lnz不再成立。
乘幂ab的形式：ab?ebLna?eb(lna?i2k?)（a为不等于0的复数，b为一
个任意函数）（其中lna?ln|a|?iargz），主值为ab?eblna。 2) 3)
幂函数w?z??e?Lnz
性质：
a) 幂函数是一个指数函数与对数函数的复合函数，是一个多值函数。 b) 当??n时，单值，解析函数
c) 当??n时，多值，除了原点及负实数外处处解析 d)
(z)???z???1。
（4） 三角函数
1) 2)
函数形式：，cosz?性质： a) b) c) d)
sinz、cosz处处解析，(sinz)??cosz,(cosz)???sinz。
eiz?e2?iz，sinz?eiz?e2?iz
cos(?z)?cosz，偶函数；sin(?z)??sinz，奇函数 sin2z?cos2z?1
sinz,cosz都是以2?为周期的周期函数
e) 实的三角函数中的一些公式，如两角和、诱导公式等都适用于复变函
数；如tanz?sinzcosz，(tanz)??secz。
2sinz,cosz都是无界函数；
（5） 反三角函数
1)
函数形式；
1?z)
z?1)
22Arcsinz??iLn(iz?Arccosz??iLn(z? 15
Arctanz??i2Ln1?iz1?iz Arccotz??iz?i2Lnz?i
2) 性质：同实函数一样。 如(Arcsin)??