M那么
?f(z)dzc??cf(z)dz?ML
2. 积分计算
设曲线C的参数方程为z(t)?x(t)?iy(t),??t??其中?,?分别对应C的起点与终点，f(z)?u?iv，则：
?此公式又可化为：
cf(z)dz??udxc?vdy?i?vdx?udy
c?f(z)dzc???f?z(t)?z?(t)dt （常用公式）
?3. 柯西积分定理及其推广 （1） 柯西积分定理
设C是一条简单的闭曲线，f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析 ，则
?cf(z)dz?0
（2） 复合闭路定理
设有界闭区域D由闭曲线C及其内部闭曲线
Ci(i?1,2?n)围成，f(z)在闭区域D上解析 ，则
nC C1 ?cf(z)dz???f(z)dz
i?1Ci其中C及其Ci(i?1,2?n)方向一致。
4. 柯西积分公式及高阶导数公式
C2Cn定理：设C是一条简单正向闭曲线，f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析 ，z0为D
26
内任一点，则
f(z0)??2?i1f(z)z?z0Cdz
f(n)(z0)??2?in!f(z)(z?z0)n?1Cdz n?0,1,2?。
5. 解析函数与调和函数的关系
（1） 定义：设函数?(x,y)区域D内有二阶连续偏导数，并满足拉普拉斯方程
???x22????y22?0
那么?(x,y)称为区域D内的调和函数。
（2） 设f(z)?u?iv为区域D内的解析函数函数。则u(x,y),v(x,y)都是D内的调
和函数。
（3） 定义：设u(x,y)是区域D内给定的调和函数，我们把使f(z)?u?iv在D内
构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
（4） u(x,y)是区域D内给定的调和函数，利用C-R方程可以求得共轭调和函数
v(x,y)从而构成解析函数f(z)?u?iv（类似已知v(x,y)是区域D内给定的调
和函数，利用C-R方程可以求得调和函数u(x,y)从而构成解析函数
f(z)?u?iv）
三、 典型例题
C例1．计算?Re(z)dz 其中C是连接坐标原点O与A(1?i)的线段。
1. 直线段OA
2. 折线段 OB与BA。 解：
1. 直线段OA参数方程为：Z(t)?t?it?(1?i)t，0?t?1，则
?CRe(z)dz=?10Re?Z(t)?Z?(t)dt??10t(1?i)dt?1?i2
2. 折线段OB与BA参数方程分别为
Z1(t)?t，0?t?1，和Z2(t)?1?it，0?t?1，则：
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?=CRe(z)dz=?OBRe(z)dz+?Re(z)dz?1BA0tdt??10idt?12?i。
例2．求?1?i1zezdz
解：因为被积函数在复平面上解析，所以积分与路径无关，从而
?1?iz=
1?iz=zez1?i1?iezdz?ie1?i
1zedz1zde1??1例3．求?dzz?R(z?a)n，其中
(z?b)1. a,b在z?R外；
2. a在z?R内部，b在外部； 3. a在z?R外部，b在内部，
解：分别计算积分。
1. 因为被积函数在积分区域上解析，所以积分为零。
12.
?dzz?bdz2?i1(n?1)z?R(z?a)n(z?b)??z?R(z?a)n?(n?1)!(z?b)z?a?
2?i(?1)n?1(n?1)!(?1)n?1(n?1)!(z?b)n=2?inz?a(a?b)=?2?i1(b?a)n
1ndz3.
?dzz?R(z?a)n(z?b)=?(z?a)z?Rz?b=2?i1(b?a)n
2例4．设g(z)??2????1? 求g(1),g?(1),g(z0) z0＞2。
??2??zd解：当z?2时，由柯西积分公式得：
z)??2?21. g(???1?i(2z2?z?1)
??2??zd?=22. g(1)?4?i， 3. g?(z)?2?i(4z?1)， 4.
g?(1)?6?i。
28
5. 又当z0>2时被积函数在??2内解析， ?g(z0)?0。 例5． 求
?z?iez21?z?1dz
ez解：
?z?iez21?z?1e?zdz=
?z?i?1ez?idz == ??e?i 2?iz?i?2i?i例6．求
?z?i?2sinzz2dz
解：
?z?i?2e?zsinzz2dz=
2?i1!(e?zsinz)?z?0=2?i(?e?zsinz?e?zcosz)z?0=2?i。
例7． 设f(z)和g(z)在区域D内处处解析,闭曲线C在D内,并且z?C时f(z)?g(z),证明在C内f(z)?g(z)。
证明: 两次应用柯西积分公式得：
f(z)??2?i?C1f(?)?zd???2?i?C1g(?)?zd??g(z)
例8．求?Ce2z2(z?1)dz C:z?r r?1.
解：被积函数在C内有奇点?i，在C内分别以i,?i为圆心作小圆C1和C2，则由复合闭路定理得：
C?(ze2z2?1)dz?C1?(ze2z2?1)1dz+
C2?(ze2z2?1)1dz
??C1(z?i)2e2z(z?i)ezdz+
?C2(z?i)2e2z(z?i)edz
z2?2?i((z?i)22)?z?i+2?i((z?i))?z??i
??2(1?i)(cos1?sin1)。
2Rz?例9．设f(z)在区域D内解析，C为D内圆周z?R，z为圆内任一点令~，证明
z 29
Cf(?)d?????~zC?z?zf(?)?R2d??0
R证明：因为：~z?z2?R2R?R，且
f(?)在C内解析， ~??z所以：?Cf(?)d??0 ~??z即：?Czf(?)z??R2d??=0
1例10． 以下推导是否正确？
?z?dz32z(z?1)=
?z?32dzzz?1=2?i1zz?1?2?i
解：不正确，因为z?32内有两个奇点，0，1。 dz1dz1正确解答：
?z?dz32z(z?1)32=
?C1z+?z?1z?1Cz2=2?i?2?i(?1)?0，
其中C1,C2是z?例 11． 计算??中分别包含0，1的小圆。
ze2z(z?1)dz 其中?是圆环
1212?z?2的边界。
解：?z?2是逆时针方向而z??是顺时针方向，它们构成?的正向。
?z(z?e2z?1)dz??z?2e2zz(z?1)dz??z?e212zz(z?1)dz
?2?ie2zz?0z?1?1+2?iezz?1z(z?1)+2?iezz??1z(z?1)?2?ie2zz?0z?1
??i(e?e)
注意：积分
?z?2e2zz(z?1)ezdz(z?2)z2dz有三个奇点。
例12．计算
?z?12
30
解：在?z?1时，z?1z 所以
ezz2dzez?dzz(z?2)2=
?=
?i=
?i?12。
z?1z?14(z?12(e)?z??122e 2)2例13． Re?)dz???f(z?与?Re?f(z)?dz相等吗，说明理由。
?C?C解：因为：?f(z)dz??(u?