(z?1)sin22
sin?zz?c1z?1dz+zdz 2?z?1zc1?2?i2sinzcosz(z?1)?sin1!22zz?0(z?1)2?2?isinz22zz?1
?2?isin1
3. 解：F(z)??t?1eit3(t?z)dt=
2?i2!(e)??itt?z???ieitt?z???ieiz
F?(z)??e
iz4. 解：由
i??z?1ezzdz?2?i，又设单位圆方程为z?ei?，将z?e代入上式左边得
i?2??0eee2?2?cos??isin?i?ied??2?i??ie0d??2?i?ie0cos?(cossin??isinsin?)d??2?i
取虚部得：?e02?cos?cossin?d?=2?
?2?cos??e0cos?cossin?d?=
?e0cossin?d???e?cos?cossin?d?=2?
?后一项设??2??t，得?e0costcossintdt 代入即可。
5. 解：uxx?2 uyy?2k 所以k??1
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ux?vy uy??vx vy?2x v?2xy??(x)
因为uy??vx 所以2y???(x)?2y ??(x)?0 ?(x)?c
22 v?2xy?c f(z)?x?y?i(2xy?c) ?f(i)??1?1?ic??1 c?0 f(z)?x2?y2?i(2xy)?z2
第四章 级数
一． 基本要求及重点难点
1. 基本要求
（1） 理解复数项级数收敛与发散的概念；
（2） 掌握幂级数的阿贝尔定理收敛半径求法及其收敛圆中性质； （3） 掌握泰勒定理及初等函数的泰勒展开； （4） 掌握罗朗定理及初等函数的罗朗展开。 2. 重点难点
（1） 重点 泰勒级数罗朗级数； （2） 难点 罗朗级数展开。
二． 内容概述
1. 设复数列??n???an?ibn?，n?1,2,?,表达式??n=?(an?ibn)称为复数项
n?1n?1n?i??级数，称Sn???i?1为级数部分和。如果limSn?S存在，则称级数??n收敛，
n??n?1???S称为级数的和。级数??n收敛的充要条件是?an与?bn都收敛。（即把复数
n?1n?1n?1?项级数敛散性化为实数项级数敛散性），并设它们的和分别为a、b，则级数??n的
n?1?和是a?ib。若limSn不存在，则称级数??n发散。
n??n?1??2. 如果级数??n收敛，则称级数??n绝对收敛，非绝对收敛的收敛级数称为条
n?1n?1件收敛。
??n??n?1收敛???n?1n收敛；
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??n???n?1收敛??n?1an和?bn都收敛。
n?13. 幂级数
?n?形如?cnz的级数称为幂级数，一般幂级数?cn(z?z0)n，它们的圆心分别为0，
n?1n?1z0。用代换z?z0??以上两级数可互换。
阿贝尔定理
?n?若级数?cnz在z0?0处收敛，则?cnzn在满足z?z0的z绝对收敛；若级
n?1n?1?n?数?cnz在z1处发散，则满足z?z1的z，?cnzn发散。
n?1n?1??nnz存在R，0?R??使?cnz在z?R内绝对收敛，在
n?1n4. 对于幂级数
?cn?1z?R中发散。R称为收敛半径。
收敛半径求法
?幂级数?cnzn，若limn?1cn?1cnn????或limnn??cn??则收敛半径
R?1?，??0,R??;???,R?0.
??n5. 设幂级数?cnz在收敛圆内z?R的和为f(z),即f(z)?n?0?cn?0nz，则
n（1） 在z?R内幂级数可逐项求导则：
??nf?(z)??(cn?0z)?=?cnnzn?1nn?1 z?R
（2） 对于在z?R内光滑曲线C幂级数可逐项求积分则：
??n?Cf(z)dz???cCn?0zdz=?cn?n?0nCnzdz z?R
如果C的起点在原点，终点是z?R内一点，则：
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??6. 幂级数展开：
Cf(z)dz??n?1zn?0cnn?1 z?R。
（1） 泰勒定理 ：设f(z)在以z0为中心，R为半径的圆z?z0?R内解析，则
在圆内可以展开成幂级数
?f(z)??n?0f(n)(z0)n!(z?z0) z?z0?R
n 且展开式唯一。
（2） 初等函数展开式
e?1?z?zz22!z3???5znn!?? z??
2n?1 sinz?z?3!z2?z5!z4???(?1)nz(2n?1)!n?? z??
cosz?1?2!?4!2???(?1)z2n(2n)!?? z??
ln1(?z)?z?11?zz22?z33???(?1)nzn?1(n?1)?? z?1
?1?z?z???z?? z?1
n（3） 罗朗定理 设函数f(z)在以z0为中心的圆环R1?z?z0?R2内解析，则
在圆环内函数可以展开成罗朗级数
? f(z)??Cn???nn(z?z0) R1?z?z0?R2
其中系数Cn为
Cn=
12?i?CRf(?)(??z0)n?1d? n?0,?1,?2,?
其中 CR::z?z0?R,(R1?R?R2)逆时针方向， 且展开式唯一。
三． 典型例题
?例1． 求?n?1znn的和函数.
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?解：设S(x)?
?n?1znn，则
?S?(x)??n?1zn?1=
11?z，且S(0)?0
z所以：S(x)??1?zdz01??ln(1?z),z?1.
例2． 在高等数学中函数
11?x2的定义域是全体实数，但它的泰勒展开式为：
11?x2=1?x2?x4??
当x?1时才成立，试说明原因。
解：考虑复函数f(z)?展开成泰勒级数：
11?z211?z2,则它有奇点?i,所以只能在原点领域z?1
=1?z2?z4?? z?1
在z?1以外级数发散,所以当z为实数时, 只能在原点领域x?1有泰勒展开式
11?x2=1?x2?x4?? x?1.
例3． 判断下列级数的敛散性
?1.
?n?1inn
?2. 解：
?n?n?1?1z
1.
?n?1in?n=?(n?1(?1)n?12n?1i?(?1)2nn?)，而级数?(n?1(?1)n?1?2n?1和?n?1(?1)2nn都（条件）收敛，
?所以级数?n?1inn收敛。
?2. 级数
?n?n?11z是实正项级数，
1n?z?12n?，而?n?112n发散，所以级数
??n?n?11z发散。
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例4． 求下列幂级数的收敛半径
?1.
?qn?1?n2nz q?1
2. 解： 1.
?nn?1n!nnz
n??limnqn2?limqn??nn?0 所以收敛半径R=?。
nnn2. lim(n?1)!n(n?1)n?1n??n!?limn??(n?1)?lim1(1?1n)nn???1e，所以收敛半径R=e
例5． 将函数f(z)=
z1?zz1?z在z0?1展开成幂级数，并求收敛范围。
1解：f(z)==1?1?z=1?1(z?1)