1)2n＝
11?z211?11?z2?1z2， 收敛域z2?1?1，公比模小于１。
4. 解：
ze1z24z＝ze2?z4?z(1?z?24z82!1i?z123!??) z??
5. 解：?1i?z?i?1i1?1z?ii???(?1)n?0n(z?i)inn
两边求导得
?1z2???(?1)n?0nn(z?i)in?1n?1
所以：
1z(z?i)22?＝?(?1)n?0n?1n(z?i)in?1n?3．z?i?1。
六、 自测题B及解答
自测题B
一、选择题
1. 极限lim2n?ni1?nin???_____
（A） ?1?2i （B）1?2i （C）2?i （D） 2?i ?2i?2. 级数???(z?1?i)n的收敛半径___
n?1?3?
46
?n32（A） 1 （B）
2 （C）0 （D）
3
3. 设
1?(1?z2)z??anzn,z?1则a?5?_____ n???（A） 1 （B）2 （C）?1 （D） 2 4.
?ze?20的泰勒展开式中0d?在z?z3的系数是_____
（A） 1 （B）
32 （C）0 （D）
13
?5. 级数?z2n?1的和是n?1n!___
（A） z(ez2?1) （B） z(e2z?1) （C）zez2?1 二、填空题
1. 数列Zin?en?的敛散性_____
?2. 级数?e2ni2的敛散性n?1n_____
3.
Im???in?1????0n!??=______
?n?4. 设sin1?z3??anzn,z?0,则a?3?_____
n????5. 幂级数?(sin1)nzn的收敛半径_____
n?1n三、计算题
?n1. 判别级数是否收敛，是否绝对收敛?n??1?i??.
n?1?2?2. 求函数
z0z2?i在z?处泰勒展开式中z5项的系数. 3. 求f(z)?1z2在z?i处泰勒展开,并求收敛半径
4. 求f(z)?1sin?2?i???11??z2d?在z?1的罗朗展开式.
5. 求函数f(z)?1z(z?1)(z?2)在0?z?1上的罗朗展开.
D） ze2z?147
（
自测题B解答： 一、选择题
1．A 2．B 3．C ４．Ｄ ５．A
二、填空题
1、发散 ；2、绝对收敛； 3、?cos1； 4、1 5，? 三、计算题
n1. 解：由于a?n??1?i?n?n1?in?n?2??2?2?n
?而级数?nn?11n?1??liman?1??n2?n是收敛的，n??alim?2nn???2?n?1n??21
?n所以级数?n??1?i??绝对收敛。 n?1?2?2. 解：因为z22z2?i=
zzi1?iz2?z2i(1?iz?(iz)??), z?1 ，
所以z5项的系数是i。
3. 解：f(z)?1z2在z?0处不解析，R?0?i?1，
1111z?i2n?z?i?z?z?z?i?i(1?i???z?i???????1?n?z?i????)i(1??i???i?i)两边求导,并注意???1????11?z?z2，f(z)?z2在z?i?1内可泰勒展开为：
112n(n?1)nz2?i2?i3(z?i)???(?1)in?2(z?i), z?i?1.
4. 解：
1sin?2?i???1?1sin???11??z2d2?iz2??
??1??1dz2??1z2sin1z2
?n?1??(?1)4(n?1). z?1.
n?0(2n?1)!z5. 解：f(z)?1z(z?1)(z?2)
48
??1z(z?1)1z(1?z)?1z(z?2)12z(1??
??z2
)???zn?1??zn?1n?1
n?0n?02???(1?1n?1n?02n?1)z0?z?1。49