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1?z2（6） 双曲函数
1) 函数形式：shz?ez?e?zz?z2，chz?e?e2，thz?shzchz
2)
性质：
a) 与实函数一样（如(chz)??shz）
b) cosiz?eiiz?e?iize?z?ez2?2?chz；siniz?ishz。
（7） 反双曲函数
函数形式：
Arcshz?Ln(z?z2?1) Arcchz?Ln(z?z2?1)
Arcthz?1?z2Ln11?z
三、 典型例题分析
例1：设f(z)?zRe(z),求f?(0)。
解：f?(0)?limf(z)?f(0)zR(z)oz?0?limz?0z?limR(z)?limx?0。
z?z?0x?0y?0例2：验证f(z)?|xy|在z?0处满足C?R条件，但不可导。 证明：令u?|xy|,v?0，
?u?x?limu(?x,0)?u(0,0)?0(0,0)?x?0?x?lim0?x?0?x?0
?v?y?0
(0,0)所以
?uv?x??v(0,0)?y；同理
?(0,0)?x???u(0,0)?y即满足C?R条件；(0,0) 16
f?(0)?limf(0??z)?f(0)?z?0?z?0
?lim|?x??y|?x?i?y?x?0?y?0
取?y??xlim11?i|(?x)|?x(1?i)2
?x?0??，所以不存在。
例3：判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。
（1）f(z)?x3?y3?2ix2y2； 解：u(x,y)?x3?y3，v(x,y)?2x2y2
?u?x2 ?3x,?u?y??3y,2?v?x?4xy,2?v?y?4xy，
2?3x2?4x2y?x?0?x?34?,?由，，所以?2， ????2y?0y?34?x?y?y?x???3y?4xy?u?v?u?v所以f(z)只在(0,0),(34,34)处可导，所以处处不解析。
22f?(z)?3x?4xy，f?(0,0)?0，f(34,34)?2716?i(2716)
（2）f(z)?xx?y22?iyx?yx22
解：方法一、f(z)?x?y22?i1yx?y22?x?iyx?y22?zzz?1z
f?(z)??z2，除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处处解析。
yx?y22 方法二、u(x,y)?xx?y222,v(x,y)??
?u?x?v?x?y?x2?x?x2?y2xy2??2，
?u?y??2xy?x2?y22?2；
?2?y22，
?v?y?v?x??(x?y)2?x2?y2?2；
?u?x
??v?y，
?u?y??，除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处
17
处解析。
2f?(z)??u2xy??x?iy?2?x?i?v?x=
y?x2?x2?y2?2?i?x2?y2?2??x2?y2?22??z(zz)2??1z2
例4：若函数f(z)?x?ay?i(bx?cy)在复平面上解析，试确定实常数a,b,c的值
解：u(x,y)?x?ay,v(x,y)?bx?cy，
则
?u?1,?u?x?y?a,?v?x?b,?v?y?c，
要f(z)在复平面上解析，则满足C?R条件，故有a??b,c?1。 由解析函数的充要条件可知，当a??b,c?1时f(z)在复平面上解析。
例5：求下列函数的导数
241.
f(z)?(1?z)z2
23324解：f?(z)?4(1?z)2z?2z(1?z)z4?223z3(1?z)(3z2?1)
2. f(z)?Arcsinz??iLn(iz?1?z2)
?i?zf?(z)??iLn(iz?1?z2)????i?1?z2解：?1iz?1?z21?z2
例6：求下列函数的奇点
1.
f(z)?3z?1(z2?1)(z?2)
解：由初等函数在定义域内是解析的，所以使得函数没有定义的点就是奇点，
(z2?1)(z?2)?0，所以z??i,z?2为函数的奇点
2. f(z)?1sin1
z?解：由??sin1z?0?z?n?,n?Z，所以z?0,z?n?,n?Z是函数的奇点。??z?0
18
13.
f(z)?ei?z
解：i?z?0?z?i是函数的奇点。 例7：求下列函数的值
2??i
1. e4
12??i??e解：e4?e2(cos4?isin4)?2?1?i?
2. sin(ilni) 解：ilni?i[ln|i|???2i]???2，sin(ilni)?sin(?2)??1
3. ln(?1?3i)（主值）
解：ln(?1?3i)?ln1?3?i???arctan3??ln2?23?i
4. sin(1?2i)
解：方法1：sin(1?2i)?sin1cos2i?cos1sin2i
e?2?sin1?e22?cos1e?2?e22i
22?2?sin1e?2?e2?icos1e?e2
方法2：sin(1?2i)?sin1ch2?icos1sh2
21e?2?sin?e2?e?22?icos1e2
例8：求方程ez3?4i?0的所有解
解：由ez?3?4i?0求得
z?Ln(?3?4i)
?ln32?42?i??2k????arctan4??3?
??ln5?i(2k?1)??iarctan43，其中k?0,?1,?2,?。 19
???2????(z)。 例9：如果f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数，证明?|f(z)|????|f(z)|?f??22??x???y?证明：|f(z)|?u2(x,y)?v2(x,y)，所以
?22??|f(z)|???x??1??u?v??u2?v2?u?v??x?， ?x??22???|f(z)|??1???u?v????y???u2?v2?u??y?v?y? ????2?2于是?x|f(z)|????|f(z)|??????x?
??1??u?v?21??u?v?2u2?v2?u?v??x?x???u2?v2??u?v???y?y? ?22????u???x????v?????x?
?又因为f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数可知
f?(z)??u?i?v22?x?x，所以f?(z)????u??????v??
??x???x?故原等式成立。
例10：设D是关于实轴对称的区域，证明函数f(z)与f(z)在D内是同时解析的。证明：由于D是关于实轴对称的区域，所以z?D?z?D，
设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，
则f(z)?u(x,?y)?iv(x,?y)??(x,y)?i?(x,y)
f(z)在D内解析?u,v在D内可微，且满足C?R条件?u??v?x?y,?u?y???v?x， f(z)在D内解析??,?在D内可微，且满足C?R条件?????,???????x?y?y?x
四、 自测题A及答案
自测题A
一、单项选择题：（每题3分，共12分）
1. 设z?x?iy，则|ei?2z|?_____
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（A）e?2x（B）e1?2x（C）e1?2y（D）e2y 2. 下列那个等式不正确。
（A）Ln(z1z2)?Lnz1?Lnz2 （B）(Lnz)??1z
（C）Ln(z