?2?1?121?1z?12=1?1?n(?1)?2n?0(z?1)2nn
z?12?1，收敛范围z?1?2。
例6． 将
1z(z?1)1z?12在1?z?1??内展开成罗朗级数。
解：因为?1
1z?11?z?1?1z?11?11z?1n?1?z?1n?0?(?1)n1(z?1)n?=?(?1)n?0n1(z?1)n?1
两边求导，?1z2???n?0(?1)?(n?1)(z?1)n?2 即
1z2???n?0(?1)n(n?1)(z?1)2n?2，所以
1z(z?1)2?=?(?1)n?0n(n?1)(z?1)n?3
例7． 将f(z)?sin解：f(z)?sin2z在z?0处展开成泰勒级数。 1`2(1?cos2z)
z? 41
?2n=
122n2(1??(?1)n2n?0(2n)!z2n)=
1?2?(?1)n?1
n?1(2n)!z2nz??
例8． 例8.求f(z)?1sin?2?i??在z?0的泰勒展开式.
??1?2?z2d解：
1sin?1sin?sin?2?i??2?z2d?=
z(1??14?i???1??zd??14?i???1??zd?)
?sinz=??zz?1
??0z?1?n所以 f(z)??(?1)nz2 z?1.
n?0(2n?1)!, 例9． 例9. 求f(z)?11?z2在z?i处0?z?i?2的罗朗展开. 解： f(z)?11?z2=
1(z?i)(z?i)
111(z?i)?12i?z?i?2i
1?z?i2i而0?z?i?2内
z?i2i?1所以
11111?z?i(z?i)2(?1)nn?(z?i)?2i?z?i?2i1?z?i=2i??1???2i(2i)2???(z?i)(2i)n?????2if(z)?111?z?i(2nn?1?z2=(z?i)2i??1??z?i)(?1)(z?i)?2i(2i)2???(2i)n????= ?1?2i?1??1?(z?i)nn?1???(?1)(z?i)???? 0?z?i?2 ?z?i2i(2i)2(2i)n??z例10． 在0?z?1??内，把f(z)?e1?z展开成罗朗级数。
z?1解：因为f(z)?e1?z=e?1ez?1，而
42
?1?n?1e?1ez?1=e?1?1?(?1)n?n?1?n?0n!??1??z?1?=e???nz?1?，0?z?1??。即 ?0n!??z?f(z)?e1?z=?e?1(?1)n1z?1??
n?0n!， (z?1)n0?例11． 在1?z??内，把f(z)?z?1z2(z?1)展开成罗朗级数。
解：因为f(z)?z?112z2(z?1)=
z2(1?z?1)，而
1?222?nz?1?1??1?1?z(1?1?z???，所以
n?0?z?z)f(z)?z?122z2(z?1)=
1z2?z3?z4???2zn??.
1?z??。
例12． 证明：
2?1.
??zn?d????1znez?n!??2?i?n??1n!??
?22?2. ???zn???1cos?d?.
n?0??n!??2??e2z0证明：
1. 利用高阶导数公式f(n)(z!)0)?n2?i?f(zC(z?zn?1dz 得
0)1znez?d?ez?d?znn2(n)?2?i???0????1n!?n??n!zn2?i(n!)2?n??1???(n!)2(ez?)?z??。?n!??2. 利用1得：
??zn2?z????1n?0??n!????2?i??znez???1n?0n!?n?d??12?i?e?ez??1?d??
z(??11e?)12??isin??cos??isin?)2?i?2?i??ez(cos???1?d?2?i?0ei?ied??12??e2zcos?d?
0 43
2这里设单位圆方程??ei?及公式ez?1?z?z2!???znn!?? z??.
例13． 设k为实数,k?1,证明
?1.
?knsin(n?1)??sin?n?01?2kcos??k2
?2.
?kncos(n?1)??cos??k1?22
n?0kcos??k??证明：由?knei(n?1)??ei??(kei?)n?ei?1n?0n?01?kei?
?ei?1?kcos??iksin?1?2kcos??k2
?(cos??isin?)1?kcos??iksin?1?2kcos??k2 ?cos??k?isin?1?2kcos??k2 ??且?knei(n?1)???kn(cos(n?1)??isin(n?1)?)
n?0n?0再比较实部虚部即得所证。
五、 自测题A及解答
自测题A
一、单项选择题
1. 极限lim(1?i?nn??2)____
（A） 1 （B）-1 （C）0 （D）
2
???2. 级数?2nc收敛,
?2ncnnn发散,则?cnz的收敛半径
n?1n?1n?1（A） 1 （B） 0.5 （C）0 （D）
2
1?3. 积分
2?i???zndz=_____
z?1n??12（A） 1 （B）-1 （C）0 （D） 2
44
??4. 级数?cnnz的收敛半径2,则?Re(cn)zn的收敛半径
n?1n?1（A） 1 （B）2 （C）0 （D） 大于2
?5. 级数?(1?i)nzn的收敛半径
n?1（A） 1 （B）2 （C） 22 （D） 大于2.
二、填空题
?1. 级数?1in?1n?2n的敛散性_____.
?2. 级数?(1?1nnn)z的收敛半径_________.
n?13. ez在z?i处的泰勒级数_______。
?4.
f(z)是偶函数,f(z)??cnzn z?R(R?0)则c2n?1=____.
n?05. f(z)?1z?3在z?3内的罗朗级数______.
三、计算题
?1. 判定级数?1n?1z?n2的敛散性.
?2. 求级数?1?1n?1n23n(zz?1)n的收敛域.
?3. 求?12n?1(z?1)n的和函数及收敛域.
4. 求函数
z2在z?0处的泰勒展开及收敛域.
ez45. 求函数11处的罗朗展开.
z2在z?i?(z?i)2自测题A解答
一、单项选择题
1．C 2．D 3．Ａ ４．Ｄ ５．Ｃ 二、填空题
45
?１发散２．１ ３．e三、计算题
i?n?0(z?i)n!n z?? ４．０５．
13n(?) zn?0z?1. 解：级数为正实级数，
1z?n122?1n2? 而?n?1?1n2收敛，所以原级数收敛．
2. 解：设
z?1z?1??t，
?nn?13n(z?1z?11)?n?n?121n3n2nnt ，
??limn??(n?1)32n?1n3?13，
故R?3，所以级数在
z?1z?1?3时收敛。
?3. 解：?n?11(z?