第4章 声波的辐射
4.1声波的辐射过程和辐射阻抗
4.1.1声波的辐射过程
声源辐射器振动表面推动周围介质振动，由于介质的惯性和弹性，使得振动状态向远处传播，从而形成声波场。在第三章中主要讨论这些已经激发起来的声波在传播过程中的特性，至于声波场和声源之间的关系，即声源辐射声波问题，将在本章讨论。本章从三个方面来讨论：
（1）介质对辐射器振动表面的作用—辐射阻抗的概念
研究声源在介质中振动并辐射声波，因而向介质中辐射声能的问题，它涉及到介质与声源的相互作用，即声源作为一个振动系统在介质中受到介质的反作用力，由此可以求出介质对辐射器振动表面的作用和辐射阻抗。 （2）声源辐射声场的空间分布问题
声源辐射声场的空间分布包括轴向分布和周向分布，轴向分布涉及声场的远近场概念，声场的周向主要用远场指向性刻画。 （3）辐射声场的数学处理方法
辐射面规则，可采用分离变数法求解；辐射面不规则，采用亥姆霍兹方程的积分解。 在实际中，声源的形式是各种各样的，要想从数学上对形状不规则的声源进行严格求解是十分困难的，因此在很多情况下，在一定的限制条件下将声源近似看作平面、球面等理想化得声源，这样既避免了繁琐的数学推导，又可以由所得结果揭示基本规律。
4.1.2 辐射阻抗
声源辐射器在声场中振动时，介质发生稀疏交替的形变，从而辐射了声波；另一方面，声源本身也处于它自己辐射形成的声场之中，因此它也受到声场对它的反作用。
如果，辐射器的机械振动系统的等效集总参数系统如图4.4.1。
图4.1 1辐射器的振动系统的等效集总参数系统
系统在无介质环境下的运动方程为：
{Rm?j(?Mm?1)}U0?F （4.1.1） ?Cm其中，U0是等效系统参考点处的振速；（取辐射器表面某点振速）；F是电—机转换元件的等效施加力；
系统在介质中的运动方程为：
{Rm?j(?Mm?1)}U0?F?f阻 （4.1. 2） ?Cm其中，U0是等效系统参考点处的振速；F是电机转换元件的等效施加力；f阻是介质对辐射器振动系统的阻力；
又因为f阻是声压作用在辐射器振动表面的压力，所以：
f阻????p(r)ds????Za(r)u(r)ds （4.1. 3）
S0S0上式中，Za(r)是波阻抗；u(r)是声场在辐射器振动表面处的振速。又因为
u(r)S?v(s) （v(s)是辐射器振动表面的振速分布函数） （4.1. 4）
0所以：
f阻????p(r)ds????Za(r)u(r)ds????Za(r)v(s)ds （4.1. 5）
S0S0S0此式代入到运动方程中，得系统在介质中的运动方程为：
{Rm?j(?Mm?1)}U0?F?f阻?F???Za(r)v(s)ds （4.1. 6） ?CmS01)}U0???Za(r)v(s)ds?F （4.1. 7） ?CmS0?{Rm?j(?Mm??{Rm?j(?Mm?Z(r)v(s)1)???ads}U0?F （4.1. 8） ?CmS0U0从（4.1.8）式发现，由于考虑到声场对声源的反作用，对声源振动系统来讲，相当于在
原来的力学振动系统上附加了一个力阻抗，这种由于声辐射引起的附加于力学系统的力阻抗就称为辐射力阻抗，简称为辐射阻抗。定义：辐射阻抗，介质对辐射器振动表面的阻力作用，相当于在辐射器的机械振动系统中增加了一个机械阻抗。此机械阻抗称为辐射器的辐射阻抗。记 Zs；单位：机械欧姆。
Zs???S0Za(r)v(s) ds?Rs?jXs （4.1. 9）
U0Rs是辐射阻；XS是辐射抗。辐射器的辐射阻抗与辐射器的振动表面及其振速分布、介质的
特性阻抗以及等效系统的参考点选择有关。 式（4.1.8）可写为：
~U0?其中
~F （4.1. 10）
Zm?Zr?1??? （4.1. 11） Zm?Zr?(Rm?Rr)?j??Mm?Xr??Cm???由式（4.1.11）可见，声场对声源的反作用表现在两个方面：一方面是增加了系统的阻尼作用，除原来的力阻Rm外还增加了辐射阻Rr，辐射阻Rr像摩擦力阻Rm一样，也反映了力学系统存在着能量的损耗，但摩擦力阻损耗的能量转化为热能，而辐射阻损耗的能量转化为声能，以声波的形式传播出去；另一方面是在系统中增加了辐射抗。所以，在辐射阻抗中，辐射阻Rs是“耗能”元件，将机械振动系统中的机械振动能转化为声场中的声能，辐射阻的消耗功率就是辐射器的辐射声功率；辐射抗XS是“储能”元件，不断进行机械振动系统中的机械振动能与声场中的声能的相互转化。
因为Xr是正的，所以辐射抗表现为惯性抗，式（4.1. 11）可改写成：
??Xr?1?? （4.1.12） Zm?Zr?(Rm?Rr)?j??M?????m????Cm????从上式可清楚看出辐射抗对力学系统的影响相当于在声源本身的质量Mm上附加了一个辐射质量Mr?Xr?，由于这部分附加质量的存在，好像声源加重了，似乎有质量为Mr的介
质层粘附在辐射器面上，随辐射器一起振动，因此这部分附加的辐射质量也成为同振质量，或伴振质量。Mm?Mr称为有效质量。
应用辐射阻抗的概念可以方便地研究声源的辐射特性，辐射声功率：
21RsU0 （4.1.12） 2Wma?上式表示机械系统对介质作功的功率，也即机械能中转换为相应声能的功率。式中U0为辐射面的振动速度（峰值）。
辐射器机械系统的内损耗功率：
Wma?机械振动系统总消耗功率：
21RmU0 （4.1.13） 21~2 Wm?(Rm?Rs)U0 （4.1.145）
2所以，机/声转换效率：
?a/mWaRs???100% （4.1.16） WmRm?Rs常参数的振荡系统的功率是频率的函数，所以效率也是频率的函数，显然，当系统以机械谐振频率辐射时，辐射功率最大，且效率也接近最高。在工程应用中，经常把换能器的的谐振频率设计在所需要的工作频率上。
提高换能器的电声效率在大功率发射时具有重要意义。加大发射功率就要求增大电源功率。如果电声效率低，则电源功率的利用率低，大部分能量消耗在电路和机械系统内部。消耗在系统内的能量转变为热能，使得换能器元件及环境温度升高，有可能导致元件参数向恶化方向发展，换能器的性能将不稳定。
为了提高换能器的效率，应从几个方面努力。一个方面可以改善换能器元件的材料性能，提高压电系数，机电耦合系数，降低强场损耗和提高电声参数的温度稳定性。另一方面从对换能器的振动系统的结构和工艺方面考虑，减少系统的等效内损耗，例如改善换能器的粘滞性，增加反声后衬，增加去耦材料和结构，抑制不必要的振动模式的耦合等等。再一方面是考虑辐射声阻的提高，防止不利于辐射阻提高的声场耦合作用。因为实际的换能器结构形式是各种各样的，不同形式的振动面的辐射阻抗是不同的，而且换能器的结构也往往是很复杂的。例如，当振动面是非直接接触水介质时，振动面上的视在阻抗和油层、外壳的声学特性及结构有关。合理选择材料和设计结构，可以提高辐射声阻；又如带有反声罩的水下声系统，罩的不同结构形式和壁的声学特性，对于换能器的辐射阻抗都有很大影响。总之，声辐射想象直接反映到电声系统中是辐射阻抗，而实际上式涉及换能器材料以及振子和基阵的声学结构。
4.2 亥母霍兹方程在球坐标系下的形式解
在第三章中给出了直角坐标系下亥母霍兹方程的形式解。在这里讨论亥母霍兹方程在球坐标系下的形式解。
球坐标系下拉普拉兹算符的运算式为
1?2?1??11?2 ??2(r)?(sin?)?2r?r?rr2sin?????rsin2???22（4.2.1）
所以，球坐标系下亥姆霍兹方程为：
1?2??(r,?,?)1???(r,?,?)11?2?(r,?,?)(r)?2(sin?)?2?k2?(r,?,?)?0222r?r?rrsin?????rsin??? （4.2.2） 其中k??；
c用“分离变数法”求解：令?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)，可得：
Y(?,?)??{al0Pl(cos?)??alncos(n???n)Pl(n)(cos?)}
l?0n?1?l（4.2.3）
(n)其中，Pl(?)是L次勒让德函数，P(?)是L次n阶连带勒让德函数。 lR(r)?Al'jl(kr)?Bl'nl(kr)?Alhl(1)(kr)?Blhl(2)(kr)
（4.2.4）
其中jl(?);nl(?)分别为 l阶球贝赛尔函数和 l阶球纽曼函数，它们是 l阶球贝塞尔方程的两个线性无关的实函数形式解，是特殊函数。hl(1)(kr) 是l阶第一类球汗克尔函数，hl(2)(kr) 是l阶第二类球汗克尔函数，它们是 l阶球贝塞尔方程的两个线性无关的复函数形式解，也是特殊函数。
所以，球坐标系下亥姆霍兹方程的形式解为：
?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)??{al0Pl(cos?)??alncos(n???n)Pl(n)(cos?)}(Aljl(kr)?Blnl(kr))l?0n?1?l
?l驻波形式解??{al0Pl(cos?)??alncos(n???n)Pl(n)(cos?)}(Al'hl(1)(kr)?Bl'hl(2)(kr))l?0n?1（4.2.5）
行波形式解下面给出利用“分离变数法”求解球坐标系下亥姆霍兹方程的具体步骤，球坐标系下亥姆霍兹方程如式（4.2.2）所示。令 ?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)，可得：
Y(?,?)d2dR(r)R(r)??Y(?,?)1R(r)?2Y(?,?)(r)?2(sin?)?2?k2R(r)Y(?,?)?0222rdrdrrsin?????rsin???r2方程两端同乘以得到
R(r)Y(?,?)