?得注意的是，u?和p始终是相差90，而且也是呈现惯性作用。这意味着任何距离上垂直
半径方向的能流无定向流，平均值为零，即实际上声能总是沿半径方向传播。
（4）低频偶极子声源附近介质的环流是他发射效率低的重要物理原因。近场质点的流动可以用流线表示。流线的切线由场中质点振速的方向确定。偶极子声场中的流线是过声源的闭合曲线组，每条线都是从偶极子源的一极到另一极，见图4.4.3。
图4.4.3 偶极子声场中质点运动轨迹
当声源振动时，一极向外膨胀，使介质压缩，而另一极向内收缩，使介质稀疏，于是介质质点将沿线从这一极向另一极方向运动。反之，流线改变方向。
当频率很低时，周期很长，于是在声源工作时，质点就有可能从这一极沿流线到另一极去，这样压缩部分的质点将向稀疏部分的填充，从而使介质的压缩减弱。因而介质对声源的有效阻力减小。纸盒扬声器、无幕单面辐射器、摆动球和摆动圆盘，辐射低频声波时，都有相似的质点包绕现象，这是这类辐射器辐射效率低的原因。显然，在垂直其轴的平面安置一刚性屏幕可提高低频的辐射效率。
为了计算偶极子声源的辐射阻抗和辐射声功率，我们以理想的硬球在介质中摆动时辐射声波为例。
4.4.3摆动球的声辐射
设硬球在原点沿x轴作微幅振动，振速为v0cos?t，这时球面上每点在x方向的振速皆为v0，而在振动表面半径方向的振速分量为v0cos?，见图4.4.4。因此摆动球的定解问题为：
??2?(r)?k2?(r)?0;其中,k??/c;????(r)?v0cos????rr?a???(r)满足无穷远辐射条件r???ej?t略 （4.4.18）
图4.4.4 摆动球辐射源
球坐标系下，亥母霍兹方程的解为：
?l?(r,?,?)???cos(n???\(1)\(2)n)Pnl(cos?){Alnhl(kr)?Blnhl(kr)} l?0n?0（这里，记：P0l(cos?)?Pl(cos?)）
； 因为，轴对称声场，与?无关，所以：
??(r,?)??P\l(cos?){Alh(1)l(kr)?B\(2)lhl(kr)}
l?0由无穷远边界条件得：A\l?0，所以：
??(r,?)??B\lh(2)l(kr)Pl(cos?)；代入边界条件：
l?0???(r,?)?(2)?r???B\?hl(kr)lPl(cos?)?v0cos??v0P1(cos?)r?al?0?rr?a所以B\?h(2)1(kr)1?r??v0 r?a推得B\?v01??h(2)；B\l?0;(l?1)
1(kr)?rr?a所以，摆动球的辐射声场速度势函数为：
?(r,?)??v0?h(2)h(2)1(kr)cos? 1(kr)?rr?a偶极子矩为A的偶极子声源辐射场的速度势为：
?(r,?)??A24?jkh(2)1(kr)P1(cos?) 摆动球的偶极子矩为：
4.4.19）4.4.20）(4.4.21)
（
（
4?v04?a3v0ejka A??2(2)(2?(ka))?j2ka?h(kr)j1k2?rr?a 因为
(2)dh0(x) ?h(x)?，
dx(2)1( 4.4.22）
所以
(2)dh0(x)h(x)??。
dx(2)1(2)又因为，h0(kr)的初等函数表示：
?j(x?)2?h(x)?(2)1(2)0exe?jx?j
xde?jxe?jxj?h(x)??(j)??(1?)
dxxxxd(2)de?jxje?jxje?jxj2?h1(x)?{?(1?)}?j(1?)?2(1?) dxdxxxxxxx?{2112?jx?j(?)}e 23xxxx?ka?h1(2)(kr)?h1(2)(kr)1122?jk?jk3?j{22?j(?3)}e?jx?r?krr?axxxr?ak3
?j2ka?jj((ka)2?2)}e?jka(ka)?3k3?{(2?(ka)2)?j2ka}a?3e?jka
图4.4.5 摆动球辐射源面积分示意图
下面求摆动球的辐射阻抗，因为，偶极子矩为A的偶极子声源辐射场的声压为：
A?e?jkrp(r,?)??j??{}cos?
4??rr摆动球表面的声压：
p(r?a,?)??cv0jka(1?jka)(2?(ka))?j2ka2cos?
ds面元x方向受力：（ds为球面上的圆环，如图4.4.5所示）
dfx??p(a,?)dscos???p(a,?)cos?2?asin?ad? ?2?a2p(a,?)cos?dcos??（4.4.23）
Fx??dfx?2?a2?p(a,?)cos?dcos?0??2?a2?(2?(ka))?j2kacos?cos?dcos?20?cv0jka(1?jka)?2?a2?cv0jka(1?jka)?cos2?dcos?2?(2?(ka))?j2ka0??? （4.4.24）
?c4?a23v0jka(1?jka)(2?(ka)2)?j2ka???(1223cos?dcos??cos???) ?33??00辐射阻抗：Zs??Fx?Fx?cSjka(1?jka) ??U0v03(2?(ka)2)?j2ka
?Rs?Xs （S?4?a2，球面表面积） （4.4.25）
辐射阻：Rs??cS(ka)434?(ka){4； （4.4.26）
辐射抗：Xs??cS2?(ka)234?(ka)4}ka
（4.4.27）
2?(ka)2伴振质量：Ms?M0{ } （4.4.28）
4?(ka)4这里M0?43πa?，为球所排开同体积介质的质量。 3辐射阻抗的无因次函数的实部和虚部随ka变化的曲线（A），见图4.4.6。同一图上还给出了均匀球面波的数值（B），显然，偶极子类型的辐射声阻和辐射声抗都比均匀脉动球的低，因此偶极子声源的辐射效率比脉动球的效率低。
图4.4.6 辐射阻抗随ka变化的曲线
分析两种极限情况：
（1）高频发射（???a）（大球）
Rs??cS3;Ms?0，它只有同样半径脉
动球高频极限值的1/3。这是因为只取x方向阻力，等效面积减小的缘故。 （2）低频发射（???a）（小球）
Rs??cS(ka)434;Ms?1M02。辐射阻与
频率的四次方成正比，这远比脉动球小得多（Rs小球(ka)2??cs,ka??1）。
24.4.4偶极子的声波强度和辐射声功率
如前所述，?方向的能流平均值I??平均值I?Ir?1*Re[p?u?]?0，所以声波强度就等于径向能流21*Re[p?ur]?0，利用式（4.4.16）可得（以下略去时间因子） 2p?jk?cA1h1(2)?kr?P1?cos?? （4.4.29）
??k2A????A?,Pcos??cos??14?1? ??dh12?kr?ur??A1kP1?cos?? （4.4.30） d(kr)dh12?kr?2p?u??jk?cA1Ah?kr??cos? （4.4.31）
d(kr)*r2*211因为
dhl2?Z?h?Z??[jl?Z?jl'?Z??nl?Z?nl'?Z?]?j[jl?Z?nl'?Z??nl?Z?jl'?Z?] dZ2l由球贝塞尔函数的特性