式中ln???1?2?是大于零的无因次量。单位长度柱所排开介质的体积。 M??πa012???ka?? 由以上计算可见：在低频辐射时，辐射声阻数值很小（ka??1），并且Rs和单位长度柱面面积成正比，和频率的一次方成正比；共振质量在低频段不是常数，它随ka增大而减小，频率越低其值越大。
单位长度柱的辐射声功率为
2v0π?s12f22Wa?Rs?v0??π3a2fv0 （4.5.18）
24利用声场中柱面上声波强度对整个柱面积分也可得到同样结果，从式（4.5.18）可知，单位长度柱的辐射声功率和频率的一次方成正比。 （2）高频发射情况a???，粗柱辐射时（ka??1）
利用贝塞尔函数的奇异性展开（变量z??的函数近似式）得
J（?0z）z??2?cos（z?）；?z42?sin（z?）；?z4J（?1z）z??23? cos（z?）；?z423? sin（z?）；?z4N（?0z）z??N（?1z）z??将上面的近似式代入辐射阻抗表达式中，可得： 辐射阻：Rs??cs1； 辐射抗：Xs?0； 共振质量：ms?0
即所谓频率很高时，柱面发射与平面波发射情况近似。这时发射器受到介质反作用纯属有功阻力，这个结论和球面脉动高频发射情况的结论相同。由此可见，任何振速均匀分布的曲面发射器，高频发射时的辐射声阻皆接近于平面波声阻和发射面积的相乘积，究其原因是任何曲面作高频振动时，声波波长比曲面的曲率半径小很多，而其周期很短，以致由它推动的临近介质的质点来不及扩散，于是发射面附近介质的压缩和伸张与平面压缩伸张情况类似。所以介质发作用力接近纯有功阻力。
高频发射时，均匀脉动柱面声源，单位长度的辐射声功率为：
22v0v0Rs??cs1 （4.5.19） Wa?22高频时，均匀脉动柱面声源单位长度的辐射声功率是一个常数，和柱面表面积成正比，而和
频率无关。
4. 6 亥姆霍兹(Helmholtz)积分公式
亥姆霍兹积分公式在声学中应用很广，如计算辐射系统的方向性和曲面的衍射声场等。亥姆霍兹积分公式是采用积分公式解得方法计算声场。已知空间某一封闭曲面上速度势?s和它的法向导数?????则空间任一点的速度势?M，就可以根据已知函数?s和?的函数值，
??n?s??????的面积分求出，因此亥姆霍兹积分公式是用声场边值表示声场的积分形式解，此公?n??s式限于稳态单频波动情况，而柯西霍夫公式则推广应用于非稳定的波动问题。
（1）令S是声场中的闭曲面，如图4.6.1所示，S的内部V中各点的速度势函数?(r)满足H—方程
?2?(r)?k2?(r)?0;r?V,其中,k??/c; （4.6.1）
图4.6.1 推导亥姆霍兹积分公式用图（声源在闭曲面S以外）
取辅助函数?(r)，令其也满足H—方程
?2?(r)?k2?(r)?0;r?V,其中,k??/c; （4.6.2）
设在闭曲面s所包围的空间区域v中，函数?和?在v中和s上都有一阶和二阶连续有界偏导数。则有：
?(r)??(r)??(r)??(r)?0 得
??{?(r)??(r)??(r)??(r)}?0 上式在v内处处成立，做体积分，得：
22??????{?(r)??(r)??(r)??(r)}dv?0
V根据奥—高公式：
?????Adv???A?ds得：
VS??{?(r)??(r)??(r)??(r)}?ds?0
S??(r)ds ?n??(r)ds ??(r)?ds???(r)?nds??n又因为：??(r)?ds???(r)?nds?所以：
???{?(r)S??(r)??(r)??(r)}ds?0 （*式） ?n?n这里
?是表示沿s面外法线方向的偏导数（所谓外法线是指法线引向函数?和?有定义?n?jkr的体积的外部）。
如取辅助函数??e/r，这里r是空间一定点o算起的距离。o点实际上是观察点。
辅助函数之所以这样取，是考虑到界面单位长度的波源对o点产生的影响为
?ej?t?ej??t?kr?/r，沿面积分是指界面上元波的扰动在o影响的叠加。
显然，这时??e?jkr/r函数除r?0点有奇点外，其他地方皆满足假设条件和波动方
程。因此当o点在s之外，而?的奇异点也皆在s之外。
图4.6.2 坐标关系
辅助函数?(r)为空间点M处的点声源辐射场，有：
Mee?jkrrM?(r)??;r?rMrrM?jkr?r
其中，rrM?r?rM，如图4.6.2所示。显然，此函数在r?rM处，满足H—方程。
若在以S为边界的V内?(r),?(r)满足H—方程，则：
??{?(r)S??(r)??(r))??(r)}ds?0;（见前*式） ?n?n所以，当rM?V（M点在V外），有下式成立，（记作2-1式）
?e?jkrsMe?jkrsM?{?(rs)()??(rs)}ds?0;???nrsMrsM?nSrM?V
（4.6.3）
其中，rsM?rs?rM，见图4.6.3。
图4.6.3 坐标关系
此积分式，对声场计算的作用何在？下面进一步分析，rM?V时（M点在V内）上式的积分：rM?V时（M在V内）函数。
Mee?jkrrM （4.6.4） ?(r)??r?rMrrM?jkr?r在V内的M点出现奇点，（如图4.6.4所示），不满足H—方程；如何作积分？在V内
e?jkrrM取以M点为球心半径为?的小球面??；则在S与??之间的区域V'内与?(r)满足
rrMH—方程。
图4.6.4 源包含在S面外的亥母霍兹积分面的取法
（M点不在V内）所以，根据2—1式，有:
?e?jkrsMe?jkrsM?{?(rs)()??(rs)}ds?0???nrr?nsMsMS'rM?V'
（4.6.5）
其中，rsM?rs?rM;S'?S?小球面??； n为S'的外法线，
??????????0s's?????????
s??
图4.6.5 挖去观测点的示意图
又因为，小球面??是以M点为球心半径为?的球面，所以，
???e?jkrsMe?jkrsM{?(r)()??s?(rs???nrsMr)}ds sM?n2??jkr????{?(r?e?e?jkr?2s)()??(r)}rsin?d?d?00?rrr?rs r??其中，r?r?rs?rM;rs?r?rM ??n????r（见图4.6.5） 2???jkrjkr??????{?(rs)?r(r)??r?r?(rs)}r2sin?d?d?
???ee??00r??2???jkr????(re1e?jkr{??2s)(?jk?)??(rs)}rsin?d?d? 00rrr?rr??2??????{??(r?jkr?s)e?r(?(rjkr00?rs)?jk?(rs))e?}sin?d?d? r??又，令??0；有：rs?rM
lim
??0????2???lim(?)??{??(rs)e?jkr?r(???000?r?(rs)?jk?(rs))e?jkr}sin?d?d?r??2???lim???{??(r?M)e?jk???(?r?(rM)?jk?(rM))e?jk?}sin?d?d? ??000?4??(rM)
?????????lim????4??(rM) S????0??亦：当rM?V时（M点在V内），有下式成立：（记作1—2式）
4.6.6）
（