图4.7.1 无限大刚性障板上圆面活塞辐射器
4.7.2无限大刚性障板上圆面活塞辐射器的辐射声场
活塞式辐射器是指一有限的平面辐射器，辐射面上质点在表面的法线方向做同相等幅振动，振动速度为v0ej?t。
图4.7.2 圆面活塞辐射器坐标选取
（1）远场速度势函数 由瑞利公式得到：
?(r)?ej?tv0e?jkrAv(s)e?jkrosj?tds?e??ds ??2?ros2?rASS其中S是半径为a的圆面；rA为面积微元ds到场点M的距离，如图4.7.2所示。场点M的位置用球坐标变量（r,?）表示，在辐射器振动圆面上取(o????)极坐标，如图4.7.3所示，有：ds??d?d?，又若，r??a，有：rA?r??cos?sin?在被积函数的分母上，取rA?r，在被积函数的指数因子中，取rA?r??cos?sin?。得：
v0e?jkrAv0ej(?t?kr)j?t?(r)?e??ds?2?r2?rAS又因为，
a2???e00jk?cos?sin??d?d?
1J0(x)?2?2??jxcos?ed?;?0xJ1(x)??xJ0(x)dx
v0ej(?t?kr)??(r)?2?raa2??jk?sin?cos?e?d?d? ??00v0ej(?t?kr)?2??J0(k?sin?)?d?;2?r0a1(J0(x)?2?2??jxcos?ed?) ?0ej(?t?kr)v0J0(k?sin?)k?sin??dk?sin? 2?r(ksin?)0ej(?t?kr)v0J1(k?sin?)k?sin??r(ksin?)2??a;??0(xJ1(x)??xJ0(x)dx)
ej(?t?kr)v0a2J1(kasin?)Qej(?t?kr)2J1(kasin?)??;r(kasin?)2?r(kasin?)(Q??a2v0)
图4.7.3 圆面上的极坐标选取
(2)远场声压和指向性函数 因为速度势函数为
Qej(?t?kr)2J1(kasin?)?(r)?;2?r(kasin?)所以，远场声压函数：
(Q??a2v0)
（4.7.2）
??(r)j??Qej(?t?kr)2J1(kasin?) p(r)????t2?r(kasin?)那么，远场指向性函数：
（4.7.3）
D(?)??(r,?)?(r,??0)?p(r,?)p(r,??0)?2J1(kasin?)
(kasin?)（4.7.4）
下面分析指向性函数：关于函数y?2J1(x)，y和x的变化关系曲线如图4.7.4所示。 x
图4.7.4 函数y?2J1(x)变化关系曲线 x 从图4.7.4上曲线可以看出，
2J1?x?函数当综量x为零时取最大值1，随着x的增加，x10.2,?等值时，函数y出现系列零点。无限大刚硬函数呈振荡衰减趋势，当x?3.83,7.02,障板上圆面活塞辐射器的远场指向性函数具有类似性质。
无限大刚硬障板上圆面活塞辐射器的远场指向性函数为D(?)?2J1(kasin?)，画出
(kasin?)极坐标下的指向性图，极坐标0?r??，取：r?D(?);???有指向性图如图4.7.5所示。这里考虑半空间上圆面活塞辐射器的指向性图，在正前方??0，即kasin??0，取最大值D????1。又当z0?kasin??3.83,7.02,10.2,?，所对应的?值，有D????0。根据函数
2J1?x?的连续性可知，在两个零值之间必有一次极大值，角度增大，次极大的数值x减小。图中三幅图分别为ka?1,3,9时的指向性，对比三种情况，当ka?1时指向性最胖，当ka?3时，指向性变得较尖锐 ，当ka?5时，指向性最尖锐，且出现旁瓣。
图4.7.5 不同ka值的指向性图
由此得声源指向性的一般规律为：频率一定，声源尺度越大，指向性越‘尖’；声源尺度一定，频率越高，指向性越‘尖’。 (3)近场区域的轴上声压
图4.7. 计算平面圆面活塞辐射器轴上声场分布示意图
?(r)?ej?tv0e?jkrAv(s)e?jkrosj?tds?e??ds ??2?r2?rosASS（4.7.5）
其中S是半径为a的圆面；rA为面积微元ds到场点M的距离。场点在轴上z点处，有：
rA?z2??2，所以得
v0e?jkrAvj?t?(z,t)?e??ds?ej?t02?rA2?S?ej?tj?t2?a??00e?jk2z2??22z???d?d??v0?jk{ejkz2?a2?e?jkz}
z2?a2?z)（4.7.6）
kk(z2?a2?z)j(z2?a2?z)?j(jv0?jk?e{e2?e2}e2kkj(?t?(z2?a2?z)2v0k222?sin{(z?a?z)}ek2则声压函数为
p(z,t)?j???(z,t)kj(?t?(2v0k222?j??sin{(z?a?z)}ek2z2?a2?z) （4.7.7）
这是z轴上声压分布未作近似的严格解。式中的z2?a2是活塞式辐射器边缘到场点z的距离。
分析：z轴上声压幅值分布函数：sin{(z?a?z)} 1）z轴上声压幅值极大值位置z?Dn和极小值位置z?dn：
k222k1(z2?a2?z)?(n?)? 22z?Dn?Dn2?a2?Dn?(2n?1);2?n?0,1,2,3,......
k(z2?a2?z)?n? 2z?dn?dn2?a2?dn?2n;2?n?0,1,2,3,......
与用‘菲涅尔半波带法’分析结果一致。
2）z轴上声压幅值分布函数：sin{(z?a?z)}
k222
图4.7.7 z轴上声压幅值分布
3）瑞利距离的概念
距辐射器最远的一个声压幅值极大位置：D0?a2???4
在z?D0的区域，声场幅值沿z轴分布有起伏；在z?D0的区域，声场幅值沿z轴单调下降；在z??D0的区域，声场幅值?1规律下降； z定义：如果辐射器表面的最大线度为d；辐射的声波在介质中的波长为?；则称：Re?为该辐射器的瑞利距离；记作Re。
辐射器辐射声场的近场区和远场区的概念：
d2?一般辐射器，在z
传播距离利距离（Re）是辐射器近场距离的标志。
kka2k2222接近远场区（当z?a），则(z?a?z)?，(z?a?z)?kz，代入式
224z（4.7.7），得声压函数
2v0ka2j(?t?kz)p(z,t)??j??sin()e
k4z（4.7.8）
ka2ka2)规律衰减；当z??D0，sin()可以展开当z?D0，式（4.7.8）幅值按sin(4z4z成级数，保留其前两项，式（4.7.8）近似表示为
22???ka1ka?1????? 4z?6?4z????2p(z,t)??j??2v0j(?t?kz)ek（4.7.9）
式（4.7.9）中第一项正是把活塞面元波看作平行声束在轴上叠加结果，它符合球面波衰减规律。由此可见，按弗朗霍费观点计算的远场声压振幅是按球面波规律传播，而在向远场过渡的区域中，声压近似按时（4.7.9）规律传播，因此按弗朗霍费观点计算结果的修正误差近似地等于式（4.7.9）中方括号中的第二项。法线上声压按弗朗霍费观点计算结果的相对误差近似地等于?。
?1?ka2?????
6?4z? 在声学测量中（如测量辐射器的指向性时）应考虑此误差，虽然在z??a时，这个误差很小，但在靠近费涅尔衍射区域仍应考虑。
[结论1]：在辐射器辐射声场的远场区，声压幅值沿径向（r）变化?周向由指向性函数描述。所以，在远场区，声压为：
1，声压幅值沿rp(r,?,?,t)?p0D(?,?)ej(?t?kr) r （4.7.10）
[结论2]：在辐射器辐射声场的近场区，由于声场幅值不均匀（有起伏），辐射器辐射性能的测量一般要求在大于瑞利距离（Re）外进行。频率愈高，半径愈大的发射器，近区衍射场愈长，因此按安排的更远些。
1规律计算声场误差愈大，即在高频声测量时，收发换能器之间距离应r