1??Y(?,?)1?2Y(?,?)d2dR(r)22(sin?)?2(r)?krR(r)sin?????sin???2drdr????
R(r)Y(?,?)其中?为某一常数。
（1） 径向函数
d2dR(r)(r)?k2r2R(r)??R(r)?0 drdr进一步推导得
（4.2.5）
d2R(r)2dR(r)?2?)?(k?)R(r)?0 dr2rdrr2（2）球面函数
（4.2.6）
1??Y(?,?)1?2Y(?,?)(sin?)?2??Y(?,?)?0
sin?????sin???2令Y(?,?)??(?)?(?)得
（4.2.7）
1dd?(?)1d2?(?)?(?)(sin?)?2?(?)???(?)?(?)?0 2sin?d?d?sin?d?sin2?方程两端同乘以得到
?(?)?(?)d2?(?)dd?(?)()(sin?(sin?))2d?d?d???sin2????n2
?(?)?(?)其中n为某一常数。
关于?方程为
（4.2.8）
（4.2.9）
d2?(?)2?n?(?)?0 2d?（4.2.10）
1，2........，（为系列整数）又因为?(?)应为2?的周期函数，所以n?0，，所以得
?(?)?acos(n?)?bsin(n?)?ancos(n???n);关于?方程为
n?0,1,2,?????? （4.2.11）
(sin?dd?(?)(sin?))d?d???sin2??n2?0
?(?)（4.2.12）
进一步推导得
1dd?(?)n2(sin?)?(??2)?(?)?0
sin?d?d?sin?令，??cos?；?d???sin?d?;sin??1??2;
变量代换?(?)?y(?)，因为
（4.2.13）
d?(?)dy(?)d???y'(?)(?sin?)。可推得 d?d?d?1dd?(?)1d(sin?))?(?sin2?y'(?))sin?d?d?sin?d?1dy'(?)d?'2?{?2sin?cos?y(?)?(?sin?)}sin?d?d?1dy'(?)'2?{?2sin?cos?y(?)?(?sin?)(?sin?)}sin?d???2cos?y'(?)?sin2?y\?)??2?y'(?)?(1??2)y\?)
1dd?(?)n2(sin?))?(??2)?(?)?0可化为： 所以方程
sin?d?d?sin?n2(1??)y(?)?2?y(?)?(??)y(?)?0
1??22\'（4.2.14）
具体分析式（4.2.14）：
（1）如果n?0则方程变为：
(1??2)y\(?)?2?y'(?)??y(?)?0
此方程在??[?1,?1]时，y(?)有有界解的条件是：
（4.2.15）
??l(l?1)方程为
l?0,1,2,3......
(1??2)y\(?)?2?y'(?)?l(l?1)y(?)?0
称作“l次勒让德方程”，其解为“l次勒让德函数”。
（4.2.16）
y(?)?AlPl(?)
（4.2.17）
1dl{(?2?1)l}其中Al为常数。P为次勒让德函数（勒让德多项式）。 l(?)?ll2l!d?所以，n?0时，（波场与球坐标系中的?变量无关）
?(?)?AlPl(cos?);l?0,1,2,3......
（4.2.18）
其中P，Al为常数，勒让德函数（也称勒让德多项式）为： l(?)是次“l勒让德函数”
1dl{(?2?1)l} Pl(?)?l2l!d?l前5次勒让德函数P0(x)~P5(x)的多项式表示为：
（4.2.19）
P0(x)?1;P1(x)?x;1P2(x)?(3x2?1);21 P3(x)?(5x3?3x);21P4(x)?(35x4?30x2?3);81P5(x)(63x5?70x3?15x);8（2） 当，n?0，式(4.2.7)仍为
n2(1??)y(?)?2?y(?)?(l(l?1)?)y(?)?0 21??2\'（4.2.20）
称作“n阶l次连带（缔合）勒让德方程”，其解为“n阶l次阶次连带（缔合）勒让德函数”，记为：
ny(?)?AlnPl(?);(n?l)
（4.2.21）
nl其中Aln为常数，Pl(?)为n阶次连带（缔合勒让德函数）
Pl(x)?（1?x)n2n2dnP(x)nldx(0?n?l)
（4.2.22）
所以n?0时，波场与球坐标系中的（?）变量有关。
?(?)?AlnPln(cos?);l?0,1,2,3......;n?0,1,2...l
（4.2.23）
nl其中P，Aln为常数。 l(?)为n阶次连带（缔合勒让德函数）
综合式（4.2.11）、式（4.2.18）和式（4.2.23），可得球面函数Y(?,?)：
Y(?,?)???alncos(n???n)Pln(cos?)
l?0n?0?l（4.2.24）
这里记Pl(cos?)?Pl(cos?)
下面解径向函数方程：由??l(l?1)，可得径向函数方程：
0d2R(r)2dR(r)l(l?1)2?)?(k?)R(r)?0 dr2rdrr2作变量替换，令R(r)?因为
（4.2.25）
V(r)。 rdR(r)?dr又因为
d(V(r))r??1V(r)?V'(r) dr2rrrd2R(r)d1V(r)V'(r)?(??)dr2dr2rrr3V(r)1V'(r)1V'(r)V\r) ????22?2rr2rr2rrrV\r)V'(r)3V(r)???rrr4r2r所以
d2R(r)2dR(r)l(l?1)2?)?(k?)R(r)22drrdrrV\r)V'(r)3V(r)2V'(r)1V(r)l(l?1)V(r)2?{??}?{?}?(k?)r2rrr2rrr4r2rrr V\r)V'(r)1V(r) l2?lV(r)2????(k?2)24rrrrrrr1l2?l?()21V'(r)2)V(r)}?0;?{V\r)??(k2?2rrr得到
1(l?)212)V(r)?0 V\r)?V'(r)?(k2?2rr可见，关于V(r)的微分方程为(l?1)阶贝塞尔方程
21)2(l?dV(r)1dV(r)22)V(r)?0 ?)?(k?22drrdrr2（4.2.26）
2l?1（），l?0，1，2......方程（4.2.26）也称之为半奇阶贝塞尔方程。 因为(l?1)?22所以，V(r)的解为(l?1)阶柱函数：
2V(r)?A1J(l?1)(kr)?B1N(l?1)(kr)22?A??H定义
(1)(l?1)2(kr)?B??H(2)(l?1)2(kr)
jl(z)?nl(z)?hl(1)(z)?hl(2)(z)??2zJ(l?1)(z)2?2zN(l?1)(z)2?2z
2H((1)(z)l?1)H((2)(z);l?1)2?2z分别称作l阶球贝塞尔函数，l阶球纽曼函数，l阶第一类球汉克尔函数，l阶第二类球
汉克尔函数。所以径向函数为
R(r)?Aljl(kr)?Blnl(kr)?Ah(kr)?Bh(kr)综上，球坐标系下，亥姆霍兹方程的解为：
?l\(1)ll\(2)ll驻波形式解行波形式解
?(r,?,?)???cos(n???n)Pln(cos?){Alnjl(kr)?Blnnl(kr)}l?0n?0驻波形式解\(1)\(2)???cos(n???n)Pln(cos?){Alnhl(kr)?Blnhl(kr)}l?0n?0?l （4.2.27）
行波形式解0\\这里记P以及?n是常数，由声场的边界条件确定。Aln、Bln和Aln、Blnl(cos?)?Pl(cos?)，
根据具体问题，选择不同的形式解会使求解过程简化，也可根据具体问题，直接简化形式解。 [例]对于均匀球面波，波场与?量和?变量无关；所以，有
?Aln?0;A00?0;??Bln?0;B00?0;故有
?l\\??Aln?0;A00?0或?\\B?0;B?0?ln00?
?(r,?,?)???cos(n???n)Pln(cos?){Alnjl(kr)?Blnnl(kr)}l?0n?0?\(1)\(2)???cos(n???n)Pln(cos?){Alnhl(kr)?Blnhl(kr)} l?0n?0\(1)\(2)?A00jl(kr)?B00nl(kr)?A00h0(kr)?B00h0(kr)l