Wa???I(r)?ds
S0 （4.3.19）
又因为是谐合声波
I(r)?12?cp(r,t)；
2 （4.3.20）
对于均匀扩散谐合球面波，有p(r,t)?的球面，有：
A；闭曲面S0，取与声源同心，半径为r?arI(r)?A2（）er；而ds?dser?r2sin?d?d?er 2?cr12??2 （4.3.21）
因为在以声源为球心的球面上声波强度相等。因此通过整个以r为半径的球面的功率为
Wa???I(r)?dS?S0?0A22A（）rsin?d?d??4? ?2?cr2?c01 （4.3.22）
因为A?所以得
?cav0(ka)1?(ka)2ej(ka??0);tg?0?1 ka4??cav0(ka)j(ka??0)14?a2?c(ka)22Wa?e?v0
2?c1?(ka)22(1?(ka)2)2（4.3.23）
式（4.3.16）和式（4.3.23）形式是完全一样的。因此证明了按整个球面积分的声辐射功率等于加到辐射声阻上的机械功率。这表明由声源提供给声场的有功功率等于通过整个波阵面上的单位时间的有功能流，这是无损耗介质中机械能守恒定律的必然结果。
4.4声偶极子的声辐射
声偶极子源是指两个相距很近（相对波长而言）、振源强度相等、振动相位相反的点声源构成的声辐射系统，见图4.4.1。点源靠近水面辐射时，按照镜像法，可以近似地把水面用一个反相振动的虚源替代。因此它的辐射声场具有偶极子声场的特征。另外，刚硬球摆动时的辐射声场、纸盆扬声器及圆盘振动，在低频辐射时声场都有相似特征。因此通过偶极子声场的讨论，对了解这一类声辐射系统的工作特点是很有意义的。
4.4.1偶极子声场的速度势
谐和振动的声源1和2，置于x轴上x??d/2处，见图4.4.1.
图4.4.1 声偶极子图
因为，点声源速度势函数：
?(r,t)?Qj(?t?kr)e 4?r （4.4.1）
式中r为空间点M到声源的距离。则图4.4.1中两个点声源的速度势函数分别为
??(r,t)?Qj(?t?kr?) e4?r??Qj(?t?kr?) e4?r?（4.4.2）
??(r,t)?（4.4.3）
式中r?和r?分别为空间点M到声源1和声源2的距离。
求偶极子声源的声场，根据迭加原理，点源1和点源2在M点的速度势为：（ej?t略记）
?(r,?,t)???(r,?,t)???(r,?,t)?d??rQ?jkr?Q?jkr?e?e4?r?4?r? （4.4.4）
?Q?jkrQ?e?jkr?{e}(r??r?)??{}dcos? ?r4?r4??rrA?e?jkr??{}cos?4??rr其中A?Qd，为偶极子矩。
4.4.2声偶极子辐射声场的特点
声偶极子声压函数为：
p(r,?,t)????(r,?,t)?j???(r,?,t) ?t（4.4.5）
略去时间因子，得到空间分布函数
A?e?jkrp(r,?)??j??{}cos? （4.4.6）
4??rr或者
Ae?jkr?1?jkr?cos?p?r,???jk?c24πr?k?cAe24πrπ???j?kr????2?? （4.4.7）
1??kr??cos?2这里，tg??kr。
[结论1]:声偶极子的辐射声场在与声传播方向的垂直方向上声压幅值分布不均匀。 定义，声源的指向性：在声源辐射声场的远场，声源各方向距声源等距离处声场幅值的不均匀性称作声源的指向性。
定义，指向性函数：在声源辐射声场的远场，以声源为球心的球面上，在各方向上声场幅值的归一化函数称作声源的指向性函数，
声偶极子声源的指向性函数：
D(?,?)?p(?,?)p(?0,?0)?cos? （4.4.8）
由于声偶极子的势函数是?r,??的函数，故场中质点振速向量不在半径方向上，也即它不仅有r方向的分量ur?r,??，同时有?方向的分量u??r,??。下面求声偶极子的质点振速，因为u(r,?,t)????(r,?,t)，所以 径向振速
?A?2e?jkr{}cos? （4.4.9） ur(r,?)???(r,?)?2?r4??rr或者
??Acos???e?jkrur?r,?????2?1?jkr??4π?r?r??Acos?e?jkr??3?jkr??2?jkr??1?jkr??4πr （4.4.10）
?jkrAe??32?k2r2?j2krcos?4πrAe?j?kr??'?4??4?krcos?34πr??????这里tan?'?2kr/(2?kr) 垂直径向振速
22????A??e?jkru??r,????????????r??r????4πr?r?r或者
???sin? （4.4.11） ?u??r,???A??1?jkr?sin?34πr （4.4.12）
??Ae?jkr???4πr3?1??kr?2sin? [结论2]:声偶极子的辐射声场的质点振速有er和e?分量。
求声能流密度矢量：因为W(r,?,t)?p(r,?,t)u(r,?,t)，所以
j??A?ej(?t?kr)A?2r,?,t)?Rej(?t?kr)Wr(e{4??r{r}cos?}Re{4??r2{r}cos?} ,t)?Rj??A?ej(?t?kr)?A?ej(?t?kr)W?(r,?e{4??r{r}cos?}Re{4?r?r{r}sin?} 求声强：因为I(r,?)?W(r,?,t)，所以
Ir(r,?)?Wr(r,?,t) I?(r,?)?W?(r,?,t)?0
所以
I(r,?)?Ir(r,?)?Wr(r,?) [结论3]:声偶极子辐射场的声能流矢量的时间均值，只有er分量 复习：特殊函数的性质：
?(1) h(2)(2)e?j(x?2)0(kr)的初等函数表示：h0(x)?x
（2）j(2)l(kr)、nl(kr)或h(1)l(kr)、hl(kr)等球函数的递推关系：
因为lql?1(x)?(l?1)ql?1(x)?(2l?1)dql(x)dx 取l?0，得到?h(2)dh(2)0(x)1(x)?dx
（3）前3次勒让德函数P0(x)~P3(x)的多项式表示:
4.4.13）（4.4.14）4.4.15）（
（
P2(x)?P; P0(x)?11(x)?x;12(3x?1 );2?e?jkr}cos??jk2h1(2)(kr)P由特殊函数性质，可得：{1(cos?)，因此偶极子矩为A
?rr的偶极子声源辐射声场速度势函数可表示为：
?A?e?jkr?(r,?)?{}cos?4??rr （4.4.16） ?A2(2)?jkh1(kr)P1(cos?)4? 偶极子声场和均匀球面波声场相比，具有许多不同的特点;
（1）偶极子声场中声振幅随距离的衰减比均匀球面波衰减快，近场?kr??1?声压随
1/r2衰减，而ur?r,??和u??r,??则随1/r3衰减。然而在远场?kr??1?，p?r,??和ur?r,??都按1/r规律衰减，对于任意阶的球面波都可以表示成多偶极子的声场，它们在远场中声振幅均按1/r规律衰减。
（2）偶极子声场具有指向性。尽管在远场的衰减规律和点声源声场相同，但是在同一个球面上声振幅的分布却不相等。按照前述指向性函数的定义得偶极子声场的指向性函数为
D????p?r,???cos? （4.4.17）
p?r,o?在图4.4.2中同时给出了均匀球面波和偶极子声场的指向性。从图中可直观看出，均匀球面波声场无指向性，即其声场圆周是均匀的。而偶极子声场具有指向性，偶极子声场的指向性具有余弦函数形式，在偶极子轴的方向具有最大值，但前后方向反相位。在垂直于偶极子轴的方向声压恒为零。
(a) 均匀脉动球 （b）偶极子声源
图4.4.2 指向性图
（3）声压波和振速波传播时的相位变化不是简单的kr关系，而是kr较复杂的函数。由式（4.4.7）、（4.4.10）和（4.4.12）中，相位因子中的相位差随kr（
r?）的关系，可
r???）以导出声压波和振速波的传播速度是随kr而变化的。不难得到，在远场（kr??1，，
??π，?'?π，因此声场中同一地区声压的振动相位比径向振速的振动相位接近于超前290?。就是说，抗的部分比阻的部分大得多，而且表现为惯性性质，也表明径向能流密度的
无功成分也较大，因而反映到声源的发射效率较低，在辐射阻抗的计算时，还将看到。还值