?e?jkrsMe?jkrsM?{?(rs)()??(rs)}ds??4??(rM);rM?V （4.6.7） ???nrsMrsM?nS其中，rsM?rs?rM;
图4.6.6源包含在S面外的亥母霍兹积分面的取法
综上，得结论1：
如果S是声场中的闭曲面，所围区域为V，在V中速度势函数?(r)满足H—方程：
?2?(r)?k2?(r)?0;r?V,其中,k??/c;
则有H—积分公式（1）：
?e?jkrsMe?jkrsM?{?(rs)()??(rs)}ds ???nrsMrsM?nS??4??(rM);???0;rM?VrM?V
（4.6.8）
其中，n为V边界面S的外法线；
（2）令S是声场中的闭曲面，S的内部为V；S外的速度势 函数?(r)满足H—方程和?条件：
???22???(r)?k?(r)?0;r?V,其中,k??/c;? ???(r)满足无穷远辐射条件??r???
图4.6.7源包含在S面内的示意图 图4.6.8源包含在S面外时无穷远积分面的选取
如何获得此条件下的H-积分公式？取球心为M点，半径为R的大球面?R，包围V；
在S与大球面?R之间的区域V'，利用结论1；得：
S??R是声场中的闭曲面，所围区域为V'，在V'中速度势函数?(r)满足H—方程；
由H—积分公式（1）有：
S???e?jkrsMe?jkrsM{?(r?s)()??(rs)}ds ??R?n'rsMrsM?n'????4??(rM);rM?V'?0;r?V' M其中，n'为V'边界面的外法线；
问题？下面计算S????????S??；R??????：
R?R?R
图4.6.9 无穷远大圆面积分示意图
因为，大球面?R是以M点为球心半径为R的球面
???{?(r?e?jkrsMe?jkrsM?s)()???R?n'r(rs)}ds
sMrsM?n'2?????{?(r?(e?jkrr)?e?jkr?s)r?r?(r2sin?d?d?
00?rs)}rr?R其中，r?r?rs?rM;rs?r?rM
??n???r（见图4.6.9） 2???????{?(r?e?jkre?jkr?s)?
??R0?r(r)?r?r?(rs)}r2sin?d?d0r?R2???jkr?jkr???{?(rs)e(?jk?1)?e??(r)}r2sin?d?d?00rrr?rs r?R （4.6.9）
2????00?jkr{??(r)e?r(s???(rs)?jk?(rs))e?jkr}sin?d?d? ?rr?R又，令R??；利用声场速度势函数?(rs)无穷远条件的 下面表达形式：
?(r)满足无穷远条件，是指： （）1limR?(R)?c???常数R??（有限值条件）
2???limR????e00?jkR?(R)sin?d?d??0
（辐射条件）
（2）limR(R????(r)?jk?(r))r?R?0?r2???limR???jkRe??(00??(r)?jk?(r))r?RRsin?d?d??0 ?r（）1??是无穷远声场的‘熄灭条件’ （?2） （也称作‘索末菲远场条件’） 又因为，rs?r?rM;
?lim?(rs)R??r?R?lim?(r)R??r?R;limR????(rs)??(r) ?lim?rr?RR???rr?R所以?limR?????RS?0
?limR??S??R?????????R?e?jkrsMe?jkrsM????{?(rs)()??(rs)}ds
?n'rr?n'sMsMS??4??(rM);???0;rM?V'
rM?V'其中，n'为V'边界面的外法线； 亦：
?e?jkrsMe?jkrsM?{?(rs)()??(rs)}ds ???nrsMrsM?nS?4??(rM);???0;rM?V
rM?V其中，n为V边界面S的外法线；
????;rM?V?limrM?V';rM?V?limrM?V'
R??R???n?n'
图4.6.10 源包含在S面内的示意图
综上，得结论2：
如果S是声场中的闭曲面，所围区域为V，在V外速度势函数?(r)满足H—方程和无穷远边界条件
??2?(r)?k2?(r)?0;r?V,其中,k??/c; ??(r)满足?边界条件?则有H—积分公式（2）:
?e?jkrsMe?jkrsM?{?(rs)()??(rs)}ds???nrr?nsMsMS
rM);rM?V?4??(?? （4. 6.10）
0;r?V?M其中，n为V边界面S的外法线；
结论1与结论2的统一在一起：如果S是声场中的闭曲面，将声场分为无源区和有源区；同时?(r)满足无穷远边界条件，亦：
??2?(r)?k2?(r)?0;r?有源区,其中,k??/c; ?
?(r)满足?边界条件?则有H—积分公式：
?4??(rM);?e?jkrsMe?jkrsM?{?(r)()??(r)}ds??ss???nrr?n?0;sMsMS其中，n为边界面S由有源区指向无源区的法线；
rM?有源区rM?有源区 （ 4. 6.11）
综上所述，亥母霍兹积分公式是用数学形式表示的惠更斯原理，说明声场中一点速度势为新波面上次声源发射元原在该点产生的速度势函数叠加之和，它比原始的惠更斯原理更严
密、精确。由于亥母霍兹积分公式表现为用?和
??边界值的面积分来确定声场中任意一点?n的速度势函数值，因此一直边界质点振速和分布和压力的分布值时，就可以用亥母霍兹积分求出场中任意点的速度势函数值。
关于亥姆霍兹(Helmholtz)积分公式的物理意义讨论： H—积分公式：
?4??(rM);rM?有源区?e?jkrsMe?jkrsM? ??{?( rs)(?)?rs(ds)}??rM?有源区?nrsMrsM?n?0;S（1） 可由场的边界值求出场值。（方程+边界条件求场）
（2） 场值由边界处子声源辐射场迭加构成。（子声源包括两类—点声源和偶极子声源—修
正的惠更斯原理）
（3） 源可唯一确定场；有限场不能唯一确定源。
4.7具有无限大刚性障板的圆面辐射器的辐射
4.7.1无限大刚性障板上辐射器的辐射声场的瑞利公式表示
利用亥姆霍兹积分公式计算无限大刚性障板的圆面活塞辐射器的声场，首先从亥姆霍兹
积分公式出发，推导出瑞利公式。
?(r)?ej?tv(s)e?jkrosds ————瑞利公式 ??2?rosS（4.7.1）
式中：v(s)---声源的振速分布；ros---辐射微元ds到场点的距离；s---辐射面。因此只要知道s平面上振速v(s)分布，就可以求出声场速度势函数?(r)。以式（4.7.1）与以前点声源辐射的速度势公式相比较可见，无限大刚性障板上的平面辐射器向半无限空间辐射声波时，声场中某一点的速度势等于有辐射面上无穷多单元辐射器（声源强度为v(s)ds）向半空间（2?立体角中）辐射，在该点产生的速度势d?(r)?v(s)ds?jkros的叠加。即式e2?ros（4.7.1）的结论和惠更斯元波叠加的想法是一致的。所以式（4.7.1）称为亥姆霍兹-惠更斯积分公式，又称为瑞利公式。