加上时间因子ej?t上式变为
（4.2.28）
\(1)\(2)?(r,t)?A00h0(kr)?B00h0(kr)
第三章中（3.8节）中已得到均匀球面波的波场函数为
ABp(r,t)?(e?jkr?ejkr)ej?t
rr11(1)(2)j0(kr)、n0(kr)或h0(kr)、h0(kr)球函数与函数e?jkr、ejkr有关。
rr下面讨论球函数的性质：
(1)(2)（1）j0(kr)、n0(kr)或h0(kr)、h0(kr)等球函数的初等函数表示：
（4.2.29）
对比式（4.2.28）和式（4.2.29），二者同为表示均匀球面波的波场函数，可见
sin(x);xsin(x)cos(x)j1(x)??;2xxdlsin(x)jl(x)?xl(?){};xdxxj0(x)?(1)h0(x)?cos(x)xsin(x)cos(x)n1(x)???xx2n0(x)??nl(x)?(?)?(2)h0(x)?l?1j?l?1(x)
ej(x?)2?x;e?j(x?)2x（2）奇异性和渐进展开
jl(x?0)?x;1?3?5?....(2l?1)1?3?5?....(2l?1);l?1x1?3?5?....(2l?1);l?1xlnl(x?0)??l?1?)2jl(x??)?xl?1sin(x??)2nl(x??)?x
cos(x?hl(1)(x??)?hl(2)(x??)?(2)hl(1)(x?0)??jhl(2)(x?0)?jej(x?l?1?)2xe?j(x?l?1?)21?3?5?....(2l?1);xl?1(1)x（3）jl(kr)、nl(kr)或hl(kr)、hl(kr)等球函数的递推关系：
ql?1(x)?ql?1(x)?2l?1ql(x)xdq(x)lql?1(x)?(l?1)ql?1(x)?(2l?1)ldx（4）平面波的球函数展开公式：
e?jkx?e?jkrcos???(?j)m(2m?1)Pm(cos?)jm(kr)
m?0?（4.2.30）
图4.2.1 平面波在球坐标系下的展开
4. 1 均匀脉动球面的声辐射
在声介质中，球型声源的辐射面作各向均匀的脉动，产生均匀球面波，这是最简单形式的声辐射而且，绝大多数低频发射器当其尺寸与介质中声波波长之比很小时，可等效于一个脉动球面发射器，辐射的声波都近似为均匀球面波。理想的均匀球面波辐射情况在实际生活中很少遇到，但对它的分析具有一定的启发意义，特别是在实际中，往往应用点源（小的脉动球源）的组合来处理任何复杂的面声源，所以均匀脉动球面声源可以说是最基本的声源了。
4.3.1方程和边界条件及方程解
均匀脉动球面的声辐射定解问题可写为如下形式：
??2p(r)?k2p(r)?0;其中,k??/c;???un(r)r?a?v0???p(r)r??满足无穷远辐射条件ej?t略 （4.3.1）
球坐标系下，边界条件与?、?无关；所以，声场与?、?无关。
p(r)?p(r,?,?)?p(r)；
亥姆霍兹方程为： 得到
1?2?p(r)(r)?k2p(r)?0 （4.3.2） 2r?r?r?2rp(r)?k2rp(r)?0， 2?r上式的解可表示为
rp(r)?Aejkr?Be?jkr
于是得
A?jkrBjkrj?te?e}e； rr又由无穷远边界条件，得：B?0，得声压函数
Ap(r,t)?ej(?t?kr)
r p(r,t)?{由尤拉方程求出质点振速函数为
（4.3.3）
u(r,t)???1?p(r,t)1?jkrAj(?t?kr) dt?e??rjkr?cr （4.3.4）
代入球面处的边界条件，有：
u(r?a,t)?则推得
A1?jkrj(?t?kr)e?v0ej?t
a?cjkr （4.3.5）
A??cav0(ka)1?(ka)2ej(ka??0)；tg?0?1 ka所以，均匀脉动球源的辐射声压场和振速场为：
p(r,t)??cav0(ka)1ej(ka??0)ej(?t?kr) （4.3.6）
r1?(ka)2ej(ka??0)1?jkr1j(?t?kr) （4.3.7） ejkr?cru(r,t)??cav0(ka)1?(ka)24.3.2 声源强度和点声源
定义：谐和律振动声源，排开介质的体积速度的幅值为声源强度，记为Q。均匀脉动球源的球面振速v0ej?t，振动面面积4?a，则均匀脉动球源的声源强度为：
2Q?4?a2v0 （4.3.8）
利用声源强度Q，均匀脉动球源的辐射声压场可表示为：
p(r,t)?1ej(ka??0)ej(?t?kr)；
r4?1?(ka)2Qj(?t?kr)e； 4?r?ckQ （4.3.9）
讨论：ka??1时，有：
p(r,t)?j?ck （4.3.10）
式（4.3.10）是点声源辐射声压场。点声源满足的两个条件（1）声源尺度远小于介质中波长；（2）辐射的声场各向均匀。
由点声源声压场，可得点声源速度势场：
?(r,t)?1??p(r,t)dt?Qj(?t?kr) e4?r （4.3.11）
4.3.3.均匀脉动球面声源的辐射阻抗
球面波的波阻抗：
Za(r,?)?p(r,t)jkr??c
u(r,t)1?jkr （4.3.12）
所以，带入辐射阻抗的定义式子中，可球得均匀脉动球源的辐射阻抗：
Zs(?)???Za(r,t)sS02v0v(s)jkrds????cds U01?jkrvS0r?a0 （4.3.13）
jka(ka)2(ka)2?4?a?c?4?a?c{?j} 221?jka1?(ka)1?(ka)辐射阻：Rs?4?a2?c(ka)21?(ka)2 （4.3.14）
2辐射抗：Xs?4?a?c(ka)1?(ka)2 （4.3.15）
其中S?4πa2为辐射球的表面积。
从（4.3.14）式和（4.3.15）式看出，均匀脉动球源的辐射阻和辐射抗和ka值有关，它们随ka的变化关系曲线见图4.3.1，图中给出的是无因次量Rs/?cS和Xs/?cS随
ka?2πa?变化曲线图。
图4.3.1均匀脉动球面声源的辐射阻和辐射抗随ka的变化曲线
从图4.3.1和式（4.3.14）（4.3.15）可以看出，辐射阻抗在高频和低频辐射时，呈现不同特性。
（ka??1）(1)a???,大球辐射时（高频辐射） 辐射阻：Rs?4?a2?c(ka)21?(ka)2ka??1?4?a2?c=?cS
辐射抗：Xs?4?a2?c(ka)1?(ka)2ka??1?0
（ka??1）说明当球源半径较大或频率较高时，球源的辐射阻达到最大值，而辐射抗为
零，即同振质量为零。
（ka??1） (2)a???，小球辐射时（低频辐射）
辐射阻：Rs?4?a2?c(ka)21?(ka)2ka??12??cS??2=?c?ka?S
2 辐射抗：Xs?4?a243?3(?a?)??3M0?
1?(ka)2ka??13?c(ka)（ka??1）说明当球源半径较小或频率较高时，辐射阻是很小的，并且辐射阻与频率的
平方成正比。式中M0?43?a?—球所排开同体积介质球的质量。如前所述，辐射器的辐3射抗所对应质量元件的质量称作伴振质量，记Ms。这里，Ms?3M0，相当于球源小球辐射时的伴振质量同体积介质球的质量的3倍，所以为了使球源振动，尚需克服这一部分附加惯性力而作功，但这部分能量不是向外辐射的声能，而是储藏在系统中。
4.3.4均匀脉动球面声源的辐射声功率
（1） 用辐射阻抗求辐射声功率
因为辐射阻的“消耗”功率全部转化为声场功率，所以：
22112?c(ka)辐射声功率，Wa?RsU0?4?av2 （4.3.16） 20221?(ka)分析：
（ka??1）1）a???，大球辐射时（高频）
211122RsU0?4?a2?cv0=?cSv0 （4.3.17） 222（ka??1）2）a???，小球辐射时（低频）
辐射声功率为Wa?211??S222v?f辐射声功率为Wa?RsU0? （4.3.18） 0222?（2） 用声场求辐射声功率
通过包围声源闭曲面的声功率就为声源的辐射功率，所以，辐射声功率