jl?Z?nl'?Z??nl?Z?jl'?Z??所以有
1 Z2I?1?c21*Re[p?ur]?kA1A1*cos2?22?kr?2
?ck2A1A1*12???cos??2?4??2r2将A值带入上式，得
I?2?cv0k4a612 （4.4.32） ??cos??44224?kar??可见偶极子场中的声波强度在给定方向上随距离声源的距离r作反平方规律衰减，它和均匀球面波的规律一样；但它的声波强度分布却有一定的指向性，在球形波面上按极轴对称随变化。
利用式（4.4.32）对整个球面积分，即得声源功率
Wa??I?r??2πr?sin?d???I?r??2πr2?d(co?s)200ππ
k4a42??u02?34??ka?4?cs （4.4.33）
这里，s0?4πr2，为摆动球的表面积。
以式关系代入，最后式可以由辐射阻抗表示
Wa?12Rs?u0 2这里再一次证明辐射声功率等于辐射阻Rs吸收声源的功率。 在高频辐射情况?a????，由式得
Wa?在低频辐射情况?a????
?cs62?u0 （4.4.34）
Wa??cs242k4a4?u0 （4.4.35）
结论：摆动小球的辐射声功率：Wa?f4，摆动小球的辐射声功率和频率的4次方成正比。 可见，偶极子、摆动球之类的声源，其辐射效率比球均匀脉动辐射时的效率更低。同样声振幅的条件下，前者比后者辐射声功率小得多。
4. 5 均匀脉动柱面的声辐射
均匀柱面脉动辐射器是一半径为a的圆柱，其柱面以均匀分布的径向振速ua?u0ej?t作脉动。为使所讨论的问题简化，设柱为无限长，且在均匀无线介质中振动。显然它的辐射场为均匀柱面波。若取柱坐标系的轴与柱轴重合，如图4.5.4所示，则声压和指点振速的分布都与无关。
图4.5.1 均匀柱面辐射器和柱坐标系
4.5.1方程和边条件及其解
??2p(r)?k2p(r)?0;其中,k??/c;???un(r)r?a?v0???p(r)r??满足无穷远辐射条件ej?t略 （4.5.1）
柱坐标系下，边界条件与?、z无关；所以，声场与?、z无关。声压场为：
p(r)?p(r,?,z)?p(r)
相应的亥母霍兹方程简化为：
1ddp(r)2(r)?kp(r?) 0 rdrdr
整理得
d2p(r)1dp(r)??k2p(r)?02drrdr
（4.5.2）
式（4.5.2）为“0阶贝塞尔方程”，其行波场形式解为：
(2)(1)p(r,t)?[AH0(kr)?BH0(kr)]ej?t
（4.5.3）
由无穷远边界条件，得：B=0；所以
(2)p(r)?AH0(kr)ej?t
（4.5.4）
代入声源边界条件，确定A，代入柱面处的边界条件，有：
因为
?所以
ur(r,t)r?a??得
?ur(r,t)?p(r,t)??（尤拉公式） ?t?rA?(2)H0(kr)e?tj?v0e?tj
r?aj???rA??j??v0v0 ?j?c(2)(2)H(ka)dH0(x)1kdxx?ka
[注解]利用了k??c，以及汉克尔函数的递推关系：
d??(2)xH?(x）??x??H?(2)?1(ka)dx得 H 所以 ?推得 A?(2)1(2)dH0(x)(x)??
dx取??0，
A?(2)H0(kr)ej?tj???rr?a?Aj??kH1(2)(kr)ej?tr?a?v0ej?t
j??v0j?cv0?kH1(2)(ka)H1(2)(ka)(k??c)[注解毕]
所以，均匀脉动柱声源的辐射声压场为：
p(r,t)?j?cv0(2)j?t H(kr)e0(2)H1(ka) （4.5.5）
可见，均匀脉动柱面声源的辐射场为均匀扩散柱面波长。
4.5.2均匀振动柱面辐射声场的性质
均匀扩散柱面波的性质在第三章3.10节有详细讨论，这里不再赘述。该声场的声压、振速、声强、波阻抗分别为：
p(r,t)?j?cv0(2)j?t H(kr)e0(2)H1(ka)（4.5.6）
u(r,t)?v0H1(2)(kr)ej?t （4.5.7） (2)H1(ka)2?cv0I(r)?1 2(2)H1(ka)?kr （4.5.8）
Za(r,?)??c{J0(kr)J1(kr)?N0(kr)N1(kr)2?}
?kr(J1(kr)2?N1(kr)2)(J1(kr)2?N1(kr)2) （4.5.9）
4.5.3均匀脉动柱面声源的单位长度辐射阻抗
因为均匀脉动柱面声源为无限长，所以，其辐射面的面积无限大，故，无法求整个声源的辐射阻抗，下面求出单位长度柱面的辐射阻抗：
均匀脉动柱面声源，单位长度的辐射阻抗为：
Zs(?)???Za(r,?)sS0vv(s)ds???Za(r,?)r?a0ds?Za(r,?)r?a2?a?1 （4.5.10） U0v0S0其中：
Za(r,?)r?a??c{J0(ka)J1(ka)?N0(ka)N1(ka)2?}（4.5.11） 2222?kr(J1(ka)?N1(ka))(J1(ka)?N1(ka))?辐射阻：Rs?2?a?c2 22?kr(J1(ka)?N1(ka))（4.5.12）
?辐射抗：Xs?2?a?cXsJ0(ka)J1(ka)?N0(ka)N1(ka) （4.5. 13）
(J1(ka)2?N1(ka)2)J0(ka)J1(ka)?N0(ka)N1(ka) 22?(J1(ka)?N1(ka)) （4.5.14）
?伴振质量：ms???2?a?c
图4.5.2单位长度均匀脉动柱面的等效机械振动类比电路
图4.5.3 单位长度均匀脉动柱面的辐射阻和辐射抗随ka的变化曲线在低频和高频发射两种极限情况下讨论：
（1）低频发射情况，a???，细柱辐射时（ka??1）
利用贝塞尔函数的奇异性展开（变量z?0的函数近似式）得：
J（0z）z?0?1；J（z1z）z?0?2； N（20z）z?0??lnz；N（1z）z?0??2?z 将上面的近似式代入辐射阻抗表达式中，可得： 辐射阻：
2R??csπkaπ?s??cs1πka42?s21f12 ?2?ka?2辐射抗：
?4ln?ka?Xs??cs1π2ka4??cs1kaln??1??ka??； ?2?ka?2共振质量：
?cs?1aln?1?mXsc??ka???????as1ln??1?s??ka?? ??????2ln??1??1??ka??????M01?M01??ln?????ka?2?????4.5.15）4.5.16）4.5.17）
（
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