BE?OC??2(2?a)?(23?3a)2?0，解得a?2或a?4. 34，由于a?2，则3a?考点：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.
【名师点睛】本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关垂直的判定定理和性质定理进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化与证明，另外利用空间向量解题时，要建立适当的直角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求二面角，利用数量积为零，解决线线、线面垂直问题.
33.【2015高考广东，理18】如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE?FG；
（2）求二面角P-AD-C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）795；（3）． 325【解析】（1）证明：∵ PD?PC且点E为CD的中点， ∴ PE?DC，又平面PDC?平面ABCD，且平面PDC平面ABCD?CD，PE?平面
PDC，
∴ PE?平面ABCD，又FG?平面ABCD， ∴ PE?FG；
（2）∵ ABCD是矩形，
∴ AD?DC，又平面PDC?平面ABCD，且平面PDC平面ABCD?CD，AD?平面
ABCD，
∴ AD?平面PCD，又CD、PD?平面PDC， ∴ AD?DC，AD?PD，
∴ ?PDC即为二面角P?AD?C的平面角， 在Rt?PDE中，PD?4，DE?1AB?3，PE?PD2?DE2?7， 2∴ tan?PDC?PE77即二面角P?AD?C的正切值为； ?DE33（3）如下图所示，连接AC， ∵ AF?2FB，CG?2GB即∴ AC//FG，
∴ ?PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角， 在?PAC中，PA?AFCG??2， FBGBPD2?AD2?5，AC?AD2?CD2?35，
5?35?4295PA?AC?PC??由余弦定理可得cos?PAC?，
2PA?AC252?5?352222??2
∴ 直线PA与直线FG所成角的余弦值为95． 25【考点定位】直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角．
【名师点睛】本题主要考查平面与平面垂直，直线与平面垂直，直线与直线垂直，二面角，异面直线所成角等基础知识和空间想象能力、转化与化归思想、运算求解能力，属于中档题，本题整体难度不大，无论是利用空间向量方法还是传统的几何法都容易入手解答，但解答过程需注意逻辑性和书写的规范性．
【2015高考上海，理19】（本题满分12分）如图，在长方体??CD??1?1C1D1中，??1?1，
????D?2，?、F分别是??、?C的中点．证明?1、C1、F、?四点共面，并求直
线CD1与平面?1C1F?所成的角的大小.
【答案】arcsin15 15
故
CD1?nCD1n??15． 1515． 15因此直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小为arcsin【考点定位】空间向量求线面角
【名师点睛】(1)设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝
|a·b||a||b|
(其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线|n·e|
l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.(3) n1，n2分别
|n||e|是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，
n2〉)。
【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台ABCD?A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3
和6的正方形，AA1?6，且
AA1?底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.
（1）若P是DD1的中点，证明：AB1?PQ；
（2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P?QD?A的余弦值为
3，求四面体ADPQ的体积. 7
【答案】（1）详见解析；（2）24. 【解析】
试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明AB1?PQ=0；
（2）根据条件
二面角P-QD-A的余弦值为
棱锥
3，利用空间向量可将四面体ADPQ视为以?ADQ为底面的三7P?ADQ，其高h?4，从而求解绍兴优思数学工作室15258577789
试题解析：解法一 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，
AA1所在直
∴cos?n1,n2??n1?n2?|n1|?|n2|3(6?m)?6?3222?3(6?m)?452，而二面角
P?QD?A的余弦值为
此时Q(6,4,0)，
333，因此，?，解得m?4，或者m?8（舍去）
27(6?m)?457设DP??DD1(0???1)，而DD1?(0,?3,6)，由此得点P(0,6?3?,6?)，
PQ?(6,3??2,?6?)，∵PQ//平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是
n3?(0,1,0)，
∴PQ?n3?0，即3??2?0，亦即??2，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为3以?ADQ为底面的三棱锥P?ADQ，则其高h?4，故四面体ADPQ的体积
1V?S311?h???6?6?4?24. ADQ32