【名师点睛】立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点．解题时正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等． 30.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图1，在直角梯形??CD中，?D//?C，
???D??2，????C?1，?D?2，?是?D的中点，?是?C与??的交点．将????沿??折起到??1??的位置，如图2．
（I）证明：CD?平面?1?C；
（II）若平面?1???平面?CD?，求平面?1?C与平面?1CD夹角的余弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）6． 3
(II)由已知，平面A1BE?平面?CD?，又由（I）知，???OA1，????C 所以?AOC为二面角A1-BE-C的平面角，所以?A1OC?1如图，以?为原点，建立空间直角坐标系， 因为A1B=A1E=BC=ED=1，BC//ED 所以B(?2.
2222,0,0),E(-,0,0),A1(0,0,),C(0,,0),
22222222,,0), A1C(0,,-)，CD=BE=(-2,0,0). 2222得BC(-设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1)，平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为?，
???x1?y1?0?n1?BC?0则?，得?，取n1=(1,1,1)，
y?z?0?0?11??n1?AC1??x2?0?n2?CD?0，得，取n2?(0,1,1)， ???y2?z2?0??n2?A1C?0从而cos??|cos?n1,n2?|?26，绍兴优思数学工作室15258577789 ?33?26. 3即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
31.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3 3又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=2. 2在Rt△FDG中，可得FG=6. 2232可得EF=， 22在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=∴EG2?FG2?EF2，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E(1,0,
F（－1,0，2)，
2），2C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，2）.…10分2故cos?AE,CF??AE?CF3. ??3|AE||CF|所以直线AE与CF所成的角的余弦值为3. ……12分 3【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角.
32.【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A?EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF?平面EFCB，EF∥BC，BC?4，EF?2a，?EBC??FCB?60?，O为EF的中点．
(Ⅰ) 求证：AO?BE；
(Ⅱ) 求二面角F?AE?B的余弦值； (Ⅲ) 若BE?平面AOC，求a的值．
AFCOEB
【答案】(I)证明见解析；（II）?【解析】
45；（III）a?．
35试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF?平面EFCB，借助性质定理证明AO?平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO?BE，要想BE?平面AOC，只需BE?OC，利用向量BE、OC的坐标，借助数量积为零，求出a的值，根据实际问题予以取舍.
（Ⅲ）由（I）知AO?平面EFCB，则AO?BE，若BE?平面AOC，只需BE?OC，
EB?(2?a,23?3a,0)，又OC?(?2,23?3a,0)，