n1?(?1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2?(r2,s2,t2)，而该面上向量
A1B1?(1,0,0),A1D?(0,1,?1)，由此同理可得n2?(0,1,1).所以结合图形知二面角E?A1D?B的余弦值为
|n1?n2|26??.
3|n1|?|n2|3?2【考点定位】1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.
【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、
线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在. 22.【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，已知PA?平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯
形，?ABC??BAD??2,PA?AD?2,AB?BC?1
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
P
Q A B
C
【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）求二面角，关键求出两个平面的法向量，本题中平面PCD法向量已知，故关键求平面PAB的法向量，利用向量垂直关系可列出平面PAB的法向量两个独立条件，再根据向量数量积求二面角余弦值（2）先建立直线CQ与DP所成角的函数关系式：设BQ??BP,则cos?CQ,DP??模求线段BQ的长
试题解析：以??,?D,??为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系??xyz， 则各点的坐标为??1,0,0?，C?1,1,0?，D?0,2,0?，??0,0,2?．
（1）因为?D?平面???，所以?D是平面???的一个法向量，?D??0,2,0?． 因为?C??1,1,?2?，?D??0,2,?2?．
1?2?10??22D
325（2） 35(0???1),再利用导数求其最值，确定点Q坐标，最后利用向量
???x?y?2z?0m?x,y,z设平面?CD的法向量为． ??，则m??C?0，m??D?0，即?2y?2z?0?令y?1，解得z?1，x?1．
所以m??1,1,1?是平面?CD的一个法向量．
从而cos?D,m??D?m?Dm?33，所以平面???与平面?CD所成二面角的余弦值为． 33（2）因为?????1,0,2?，设?Q????????,0,2??（0???1），
【考点定位】空间向量、二面角、异面直线所成角
【名师点晴】1．求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sin θ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角α -l -β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
23.【2015高考福建，理17】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(Ⅰ)求证：GF//平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
ADBFC
GE【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)
2． 3【解析】解法一：（Ⅰ）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，
1所以GHAB，且GH=AB，
21又F是CD中点，所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形得，ABCD，AB=CD，所以
2GHDF，且GH=DF．从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF//DH，,又
DH趟平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE．
ADHBGECFADHBGEC
FQ(Ⅱ)如图，在平面BEC内，过点B作BQEC,因为BE^CE，所以BQ^BE． 又因为AB^平面BEC，所以AB^BE，AB^BQ
以B为原点，分别以BE,BQ,BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB^平面BEC，所以BA=(0,0,2)为平面BEC
的法向量，
设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2)，AF=(2,2,-1)
ìnAE=0，ì2x-2z=0,镲由眄取z=2得n=(2,-1,2). 得2x+2y-z=0,镲?nAF=0，?从而cos狁n,BA=nBA42==,
|n|×|BA|3′232． 3所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为
解法二：(Ⅰ)如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM//AE， 又
（Ⅱ）同解法一．
【考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角． 【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角还是钝角，正确写出二面角的余弦值．