合几何方法要作出二面角的平面角，作图中要伴随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求．两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用．
28.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N
（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线MN//平面BDH （3）求二面角A?EG?M的余弦值.
【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.
HEFDMA（2）详见解析.（3）GCB22 3
【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示.
所以OM//CD，且OM?1CD， 21NH//CD，且NH?CD，
2所以OM//NH,OM?NH， 所以MNHO是平行四边形， 从而MN//OH，
又MN?平面BDH，OH?平面BDH， 所以MN//平面BDH.
（3）连结AC，过M作MP?AC于P.
HENKFGDOAPMBC
在正方形ABCD?EFGH中，AC//EG， 所以MP?EG.
过P作PK?EG于K，连结KM， 所以EG?平面PKM， 从而KM?EG.
所以?PKM是二面角A?EG?M的平面角. 设AD?2，则CM?1,PK?2， 在RtCMP中，PM?CMsin45?2. 232. 2在RtKMP中，KM?PK2?PM2?所以cos?PKM?PK22?. KM322. 3即二面角A?EG?M的余弦值为（另外，也可利用空间坐标系求解）
【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.
【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算. （1）注意ABCD是底面，将平面展开图还原可得点F、G、H的位置. （2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN平行于平面BDH内的一条直线.连结O、M，易得MNHO是平行四边形，从而MN//OH，进而证得MN//平面BDH（.3）要作出二面角A?EG?M的平面角，首先要过M作平面AEGC的垂线，然后再过垂足作棱EG的垂线，再将垂足与点M连结，即可得二面角A?EG?M的平面角.
29.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且PD?CD，过棱PC的中点E，作EF?PB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE.
（Ⅰ）证明：PB?平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
πDC，求的值． 3BC
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
2. 2
故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD?DC?1，BC??，有BD?1??2， 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?则 tanπ, 3πBD?tan?DPF??1??2?3, 解得??2. 3PD
所以
DC12??. BC?2DC2π时，. ?BC23故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为（解法2）
（Ⅰ）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设PD?DC?1，BC??，则D(0,0,0),P(0,0,1),B(?,1,0),C(0,1,0)，PB?(?,1,?1)，点E是PC的中点， 所以E(0,1111,)，DE?(0,,)， 2222于是PB?DE?0，即PB?DE. 又已知EF?PB，而DEEF?E，所以PB?平面DEF.
因PC?(0,1,?1), DE?PC?0, 则DE?PC, 所以DE?平面PBC.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB.
（Ⅱ）由PD?平面ABCD，所以DP?(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量； 由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以BP?(??,?1,1)是平面DEF的一个法向量. 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为则cosπ，绍兴优思数学工作室15258577789 3πBP?DP??3|BP|?|DP|1?2?2?1， 2解得??2. 所以
DC12??. BC?2DC2π?时，. BC23故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.