24.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC?A1B1C1-中，?BAC?90，AB?AC?2，
A1A?4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.
（1）证明：A1D?平面A1BC；
（2）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）?.
试题分析：（1）根据条件首先证得AE?平面A1BC，再证明A1D//AE，即可得证；（2） 作A1F?BD，且A1F
18BD?F，可证明?A1FB1为二面角A1?BD?B1的平面角，再由
1，从而求解. 8余弦定理即可求得cos?A1FB1??试题解析：（1）设E为BC的中点，由题意得A1E?平面ABC，∴A1E?AE，∵AB?AC， ∴AE?BC，故AE?平面A1BC，由D，E分别B1C1，BC的中点，得DE//B1B且
DE?B1B，从而DE//A1A，∴四边形A1AED为平行四边形，故A1D//AE，又∵AE?
平面A1BC1，∴A1D?平面A1BC1；（2）作A1F?BD，且A1F由AE?EB?BD?F，连结B1F，
2，?A1EA??A1EB?90，得A1B?A1A?4，由A1D?B1D，
A1B?B1B，得?A1DB??B1DB，由A1F?BD，得B1F?BD，因此?A1FB1为二面角 A1?BD?B1的平面角，由A1D?2，A1B?4，?DA1B?90，得BD?32，
A1F?B1F?41，由余弦定理得，cos?A1FB1??. 38
【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解
【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解，属于中档题，在解
题时，应观察
各个直线与平面之间的位置关系，结合线面垂直的判定即可求解，在求二面角时，可以利用
图形中的位置
关系，求得二面角的平面角，从而求解，在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的
平面几何知识，
例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应
予以关注.
25.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台DEF?ABC中，AB?2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；
（Ⅱ）若CF?平面ABC，AB?BC,CF?DE ，?BAC?45 ,求平面FGH与平面
ACFD 所成的角（锐角）的大小.
【答案】（I）详见解析；（II）60 【解析】
试题分析：（I）思路一：连接DG,CD，设CDGF?O，连接OH，先证明OH//BD，
从而由直线与平面平行的判定定理得BD//平面HDF；思路二：先证明平面 FGH//平面
ABED，再由平面与平面平行的定义得到BD//平面HDF.
（II）思路一：连接DG,CD，设CDGF?O，连接OH，证明GB,GC,GD 两两垂直,
以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM?AC 于点M ，作MN?GF 于点N ，连接NH，证明?MNH 即为所求的角，然后在三角形中求解. 试题解析：
(I)证法一：连接DG,CD，设CD在三棱台DEF?ABC中，
GF?O，连接OH，
AB?2DE,G为AC的中点
可得DF//GC,DF?GC 所以四边形DFCG为平行四边形 则O为CD的中点 又H为BC的中点 所以OH//BD
又OH?平面FGH, BD??平面FGH, 所以BD//平面FGH．
证法二：
在三棱台DEF?ABC中， 由BC?2EF,H为BC的中点
因为 BD?平面 ABED 所以 BD//平面FGH （II）解法一：
设AB?2 ，则CF?1 在三棱台DEF?ABC中，
G为AC的中点
由DF?
1AC?GC ， 2可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此DG//CF 又FC?平面ABC 所以DG?平面ABC
在?ABC中，由AB?BC,?BAC?45 ，G是AC中点， 所以AB?BC,GB?GC 因此GB,GC,GD 两两垂直,
以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz
所以G?0,0,0?,B可得H??2,0,0,C0,2,0,D?0,0,1?
????22?
?2,2,0??,F0,2,1????故GH????22? ,,0??,GF?0,2,122????设n??x,y,z? 是平面FGH 的一个法向量，则绍兴优思数学工作室15258577789
???n?GH?0,?x?y?0由? 可得?
???2y?z?0?n?GF?0,可得平面FGH 的一个法向量n?1,?1,2 因为GB 是平面ACFD 的一个法向量，GB????2,0,0
?所以cos?GB,n??GB?n21??
|GB|?|n|222所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为60 解法二：
作HM?AC 于点M ，作MN?GF 于点N ，连接NH 由FC? 平面ABC ，得HM?FC 又FCAC?C
所以HM?平面ACFD 因此GF?NH
所以?MNH 即为所求的角